Was ist „Mathe? KLARO!“?

Was ist ein Bruch? (1)

Hier lernst du, das ein Bruch ein Anteil vom Ganzen ist, und was ein Nenner, ein Zähler, ein Bruchstrich und eine Bruchzahl sind.

Brüche als Anteile

Paula: "Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!"
John: "Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!"

Wer von beiden hat mehr?

dass ein Bruch ein Anteil an einem Ganzen ist,
was ein Nenner, ein Zähler und ein Bruchstrich sind und
was eine Bruchzahl ist.

Eine Schokoladentafel kannst du leicht in kleinere Teile brechen, zum Beispiel in ...

... zwei Teile. ... drei Teile. ... sechs Teile. ... noch einmal zwei Teile. ... vier Teile. ... viele Teile. /

Besonders interessant sind solche Aufteilungen der Schokoladentafel, bei der die einzelnen Teilstücke gleich groß sind:

/

(Natürlich sind auch noch weitere Zerlegungen in gleich große Teilstücke möglich, zum Beispiel in noch kleinere Teilstücke oder in Teilstücke, die nicht an den Vertiefungen geteilt wurden.)

Bei einer Zerlegung in gleich große Teilstücke lässt sich sehr leicht angeben, welchen Anteil ein einzelnes Teilstück an der ganzen Schokoladentafel hat, zum Beispiel:

Bei einer Aufteilung in 2 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von der Hälfte an der ganzen Tafel. Bei einer Aufteilung in 3 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Drittel an der ganzen Tafel. Bei einer Aufteilung in 6 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Sechstel an der ganzen Tafel. /

Solche Angaben von Anteilen an einem Ganzen hast du schon ganz oft gemacht:

"Der Stab ist einen halben Meter lang."
"Es klingelt in einer viertel Stunde."
"In das Trinkglas passt ein achtel Liter Milch."
"Die Siegerin war eine hundertstel Sekunde schneller."

usw.

Das bedeutet:

Ein "halber Meter" ist einer von zwei gleich großen Teilen eines ganzen Meters.
Eine "viertel Stunde" ist einer von vier gleich großen Teilen einer ganzen Stunde.

Usw.

Eine sechstel Schokoladentafel ist einer von sechs gleich großen Anteilen an einer ganzen Schokoladentafel.

/

Für die Formulierung "einer von sechs gleich großen Anteilen an einer ganzen Schokoladentafel" gibt es eine besondere, viel kürzere Schreibweise:

Einer ... ... von ... ... sechs gleich großen Anteilen ... ... an einer ganzen Schokoladentafel.

Diese Schreibweise heißt ein Bruch. Merke dir schon mal: Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an.

Beispiele:

2 gleich große Stücke. \frac12\text Schokoladentafel 6 gleich große Stücke. \frac16\text Schokoladentafel / 12 gleich große Stücke. \frac112\text Schokoladentafel /

Ein Bruch gibt nicht an, welche Teilstücke vom Ganzen gemeint sind. Sondern nur, welchen Anteil dieses Teilstück am Ganzen hat.

So zeigen alle folgenden Zerlegungen \frac112 einer ganzen Schokoladentafel:

/

Hoppla!
In einer dieser Zerlegungen bestand das "Teilstück" eigentlich aus zwei kleineren Teilstücken!

Also aus zwei Teilstücken, von denen jedes \frac124 einer ganzen Schokolade ist.

Auch das lässt sich als Bruch darstellen:

Zwei ... ... von ... ... vierundzwanzig gleich großen Anteilen ... ... an einer ganzen Schokoladentafel.

Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an. Er besteht aus einem Nenner, einem Zähler und einem Bruchstrich.

Der Nenner unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele gleich große Bruchteile das Ganze geteilt ist.
Der Zähler über dem Bruchstrich gibt an, wie viele dieser Bruchteile der gesamte Anteil umfasst.

Merke dir die Eselsbrücke:

"Der Zähler zählt die Anzahl der Anteile."
"Der Nenner benennt die Zerlegung des Ganzen."

Wenn du die Schokolade bekommst, dann ist es dir sicher egal, ob du ein Stück bekommst, das \frac112 der Schokoladentafel groß ist, oder ob du zwei Stücke bekommst, die jeweils \frac124 der Schokoladentafel groß sind. Es ist immer gleich viel.

Unterschiedliche Brüche können also denselben Anteil angeben, zum Beispiel:

\frac12 Schokoladentafel = \frac36 Schokoladentafel \frac13 Schokoladentafel = \frac26 Schokoladentafel /

Den eigentlichen Anteil an einem Ganzen nennt man Bruchzahl.
Dieselbe Bruchzahl, also denselben Anteil am Ganzen, kannst du mit unterschiedlichen Brüchen darstellen.
Dass zwei (unterschiedliche) Brüche dieselbe Bruchzahl darstellen, zeigst du durch ein Gleichheitszeichen:\frac12=\frac36
Man sagt dann: "Die beiden Brüche sind gleich groß."

Nochmal die Situation vom Anfang:
Paula: "Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!"
John: "Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!"

Jetzt kannst du sicher ganz leicht sagen, wer von beiden mehr Schokolade bekommen hat. Oder?

Hier lernst du, das ein Bruch ein Anteil vom Ganzen ist, und was ein Nenner, ein Zähler, ein Bruchstrich und eine Bruchzahl sind.

Brüche als Anteile

Paula: ,,Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!'' /// John: ,,Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!'' /// set originx=1 originy=1; paint chocolatebar x=0 y=0 bars="6,6,6,6" width=10; Wer von beiden hat mehr?

dass ein Bruch ein Anteil an einem Ganzen ist,
was ein Nenner, ein Zähler und ein Bruchstrich sind und
was eine Bruchzahl ist.

;; ;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an: text="Beim Zählen verwendet man natürliche Zahlen." correct; text="Beim Zählen kommt es auf die Reihenfolge der Dinge an, in der du sie zählst."; text="Eine natürliche Zahl kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen." correct; text="Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen ist $\N$." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie heißen die Zahlen in einer Division? /// 1. Faktor, 2. Faktor und Produkt
Dividend, Divisor und Quotient
1. Summand, 2. Summand und Summe
Minuend, Subtrahend und Differenz $_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text; Eine Schokoladentafel kannst du leicht in kleinere Teile brechen, zum Beispiel in ... set originx=6 originy=4; // ganze Schokolade // Reihen write clear value="... zwei Teile."; paint id=ch11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; delay=10; // Halbieren transform id=ch11 mdx=-2; transform id=ch12 mdx=-2; transform id=ch13 mdx=-2; transform id=ch14 mdx=2; transform id=ch15 mdx=2; transform id=ch16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch11 mdx=2; transform id=ch12 mdx=2; transform id=ch13 mdx=2; transform id=ch14 mdx=-2; transform id=ch15 mdx=-2; transform id=ch16 mdx=-2; delay=4000; // Dritteln write clear value="... drei Teile."; transform id=ch11 mdx=-3; transform id=ch12 mdx=-3; transform id=ch13 mdx=-3; transform id=ch14 mdx=-0.5; transform id=ch15 mdx=-0.5; transform id=ch16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch11 mdx=3; transform id=ch12 mdx=3; transform id=ch13 mdx=3; transform id=ch14 mdx=0.5;transform id=ch15 mdx=0.5; transform id=ch16 mdx=-2; delay=4000; // Sechsteln write clear value="... sechs Teile."; transform id=ch11 mdx=-5; transform id=ch12 mdx=-3; transform id=ch13 mdx=-1; transform id=ch14 mdx=1; transform id=ch15 mdx=3; transform id=ch16 mdx=5; delay=4000; transform id=ch11 mdx=5; transform id=ch12 mdx=3; transform id=ch13 mdx=1; transform id=ch14 mdx=-1; transform id=ch15 mdx=-3; transform id=ch16 mdx=-5; delay=4000; paint id=ch21 chocolatebar x=0 y=0 rows="6" width=10; paint id=ch22 chocolatebar x=0 y=8 rows="6" width=10; paint id=ch23 chocolatebar x=0 y=16 rows="6" width=10; paint id=ch24 chocolatebar x=0 y=24 rows="6" width=10; delete id=ch11; delete id=ch12; delete id=ch13; delete id=ch14; delete id=ch15; delete id=ch16; delay=10; // Hälften write clear value="... noch einmal zwei Teile."; transform id=ch21 mdy=-2; transform id=ch22 mdy=-2; transform id=ch23 mdy=-2; transform id=ch24 mdy=2; delay=4000; transform id=ch21 mdy=2; transform id=ch22 mdy=2; transform id=ch23 mdy=2; transform id=ch24 mdy=-2; delay=4000; // Viertel write clear value="... vier Teile."; transform id=ch21 mdy=-3; transform id=ch22 mdy=-1; transform id=ch23 mdy=1; transform id=ch24 mdy=3; delay=4000; transform id=ch21 mdy=3; transform id=ch22 mdy=1; transform id=ch23 mdy=-1; transform id=ch24 mdy=-3; delay=4000; paint id=ch31 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1" width=10; paint id=ch32 chocolatebar x=10 y=0 rows="2,2" width=10; paint id=ch33 chocolatebar x=0 y=16 rows="4,4" width=10; paint id=ch34 chocolatebar x=30 y=0 rows="1" width=10; groupstart id=ch35; paint chocolatebar x=40 y=0 rows="2" width=10; paint chocolatebar x=30 y=8 rows="3" width=10; groupend; paint id=ch36 chocolatebar x=40 y=16 rows="2,2" width=10; write clear value="... viele Teile."; 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paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; groupend; delay=10; // Halbieren transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2; transform id=ch6_13 mdx=-2; transform id=ch6_14 mdx=2 ; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=2 ; transform id=ch6_12 mdx=2 ; transform id=ch6_13 mdx=2; transform id=ch6_14 mdx=-2; transform id=ch6_15 mdx=-2; transform id=ch6_16 mdx=-2; delay=4000; // Dritteln transform id=ch6_11 mdx=-3 ; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-0.5; transform id=ch6_14 mdx=-0.5; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=3 ; transform id=ch6_12 mdx=3; transform id=ch6_13 mdx=0.5; transform id=ch6_14 mdx=0.5; transform id=ch6_15 mdx=-2 ; transform id=ch6_16 mdx=-2; delay=4000; // Sechsteln transform id=ch6_11 mdx=-5; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-1; transform id=ch6_14 mdx=1 ; transform id=ch6_15 mdx=3 ; transform id=ch6_16 mdx=5; 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// ganze Schokolade paint id=ch1 chocolatebar x=0 y=0 rows="6,6,6,6" width=10 opacity=0.01; // Spaltenzerlegung groupstart id=ch6; paint id=ch6_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; groupend; write clear value="Bei einer Aufteilung in 2 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von der Hälfte an der ganzen Tafel."; delay=10; // Halbieren transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2; transform id=ch6_13 mdx=-2; transform id=ch6_14 mdx=2 ; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=2 ; transform id=ch6_12 mdx=2 ; transform id=ch6_13 mdx=2; transform id=ch6_14 mdx=-2; transform id=ch6_15 mdx=-2; transform id=ch6_16 mdx=-2; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; wait delay; // Dritteln transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; write clear value="Bei einer Aufteilung in 3 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Drittel an der ganzen Tafel."; transform id=ch6_11 mdx=-3 ; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-0.5; transform id=ch6_14 mdx=-0.5; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=3 ; transform id=ch6_12 mdx=3; transform id=ch6_13 mdx=0.5; transform id=ch6_14 mdx=0.5; transform id=ch6_15 mdx=-2 ; transform id=ch6_16 mdx=-2; transform id=ch6_13 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; wait delay; // Sechsteln transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; write clear value="Bei einer Aufteilung in 6 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Sechstel an der ganzen Tafel."; transform id=ch6_11 mdx=-5; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-1; transform id=ch6_14 mdx=1 ; transform id=ch6_15 mdx=3 ; transform id=ch6_16 mdx=5; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=5 ; transform id=ch6_12 mdx=3 ; transform id=ch6_13 mdx=1; transform id=ch6_14 mdx=-1; transform id=ch6_15 mdx=-3; transform id=ch6_16 mdx=-5; transform id=ch6_12 opacity=0.3; transform id=ch6_11 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; delay=2000; wait button="Von vorne!"; write clear value="/ "; transform id=ch6_12 opacity=1; transform id=ch6_11 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=2000; repeat; Solche Angaben von Anteilen an einem Ganzen hast du schon ganz oft gemacht:

,,Der Stab ist einen halben Meter lang.''
,,Es klingelt in einer viertel Stunde.''
,,In das Trinkglas passt ein achtel Liter Milch.''
,,Die Siegerin war eine hundertstel Sekunde schneller.''

usw. /// Das bedeutet:

Ein ,,halber Meter'' ist einer von zwei gleich großen Teilen eines ganzen Meters.
Eine ,,viertel Stunde'' ist einer von vier gleich großen Teilen einer ganzen Stunde.

Usw. /// Eine sechstel Schokoladentafel ist einer von sechs gleich großen Anteilen an einer ganzen Schokoladentafel. set originx=6 originy=4; // ganze Schokolade paint id=ch1 chocolatebar x=0 y=0 rows="6,6,6,6" width=10 opacity=0.01; // Spaltenzerlegung groupstart id=ch6; paint id=ch6_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; groupend; delay=10; // Sechsteln transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; transform id=ch6_11 mdx=-5; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-1; transform id=ch6_14 mdx=1 ; transform id=ch6_15 mdx=3 ; transform id=ch6_16 mdx=5; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=5 ; transform id=ch6_12 mdx=3 ; transform id=ch6_13 mdx=1; transform id=ch6_14 mdx=-1; transform id=ch6_15 mdx=-3; transform id=ch6_16 mdx=-5; transform id=ch6_12 opacity=0.3; transform id=ch6_11 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; delay=2000; wait button="Von vorne!"; write clear value="/ "; transform id=ch6_12 opacity=1; transform id=ch6_11 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=2000; repeat; Für die Formulierung ,,einer von sechs gleich großen Anteilen an einer ganzen Schokoladentafel'' gibt es eine besondere, viel kürzere Schreibweise: set originx=10 originy=10; delay=2000; write clear value="Einer ..."; paint text x=0 y=-2 align=center valign=bottom value="1" size=1.5 opacin; delay=4000; write clear value="... von ..."; paint line x=-4 y=0 x2=4 y2=0 fadein=west thickness=6; delay=4000; write clear value="... sechs gleich großen Anteilen ..."; paint text x=0 y=3 align=center valign=top value="6" size=1.5 opacin; delay=4000; write clear value="... an einer ganzen Schokoladentafel."; paint text x=6 y=0 valign=middle value="Schokoladentafel" size=1.5 fadein=west; wait button="Alles anzeigen!" delay=10000; write all; repeat button; Diese Schreibweise heißt ein Bruch. Merke dir schon mal: Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an. Beispiele: set originx=6 originy=4; // ganze Schokolade // Spaltenzerlegung groupstart id=ch6; paint id=ch6_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; groupend; write clear value="2 gleich große Stücke."; delay=10; // Halbieren transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2; transform id=ch6_13 mdx=-2; transform id=ch6_14 mdx=2 ; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=2 ; transform id=ch6_12 mdx=2 ; transform id=ch6_13 mdx=2; transform id=ch6_14 mdx=-2; transform id=ch6_15 mdx=-2; transform id=ch6_16 mdx=-2; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; write clear value="$\frac{1}{2}\text{ Schokoladentafel}$"; wait delay; transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; // Sechsteln write clear value="6 gleich große Stücke."; transform id=ch6_11 mdx=-5; transform id=ch6_12 mdx=-3; transform id=ch6_13 mdx=-1; transform id=ch6_14 mdx=1 ; transform id=ch6_15 mdx=3 ; transform id=ch6_16 mdx=5; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=5 ; transform id=ch6_12 mdx=3 ; transform id=ch6_13 mdx=1; transform id=ch6_14 mdx=-1; transform id=ch6_15 mdx=-3; transform id=ch6_16 mdx=-5; transform id=ch6_12 opacity=0.3; transform id=ch6_11 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; write clear value="$\frac{1}{6}\text{ Schokoladentafel}$"; wait delay; write clear value="/ "; transform id=ch6_12 opacity=1; transform id=ch6_11 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; delete id=ch6; // Einzelteilzerlegung write clear value="12 gleich große Stücke."; groupstart id=ch24; paint id=ch24_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1" width=10; paint id=ch24_21 chocolatebar x=0 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_22 chocolatebar x=10 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_23 chocolatebar x=20 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_24 chocolatebar x=30 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_25 chocolatebar x=40 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_26 chocolatebar x=50 y=8 rows="1" width=10; paint id=ch24_31 chocolatebar x=0 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_32 chocolatebar x=10 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_33 chocolatebar x=20 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_34 chocolatebar x=30 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_35 chocolatebar x=40 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_36 chocolatebar x=50 y=16 rows="1" width=10; paint id=ch24_41 chocolatebar x=0 y=24 rows="1" width=10; paint id=ch24_42 chocolatebar x=10 y=24 rows="1" width=10; paint id=ch24_43 chocolatebar x=20 y=24 rows="1" width=10; paint id=ch24_44 chocolatebar x=30 y=24 rows="1" width=10; paint id=ch24_45 chocolatebar x=40 y=24 rows="1" width=10; paint id=ch24_46 chocolatebar x=50 y=24 rows="1" width=10; groupend; delay=10; transform id=ch24_11 mdx=-5 mdy=-1; transform id=ch24_21 mdx=-5 mdy=-1; transform id=ch24_31 mdx=-5 mdy=1 ; transform id=ch24_41 mdx=-5 mdy=1; transform id=ch24_12 mdx=-3 mdy=-1; transform id=ch24_22 mdx=-3 mdy=-1; transform id=ch24_32 mdx=-3 mdy=1 ; transform id=ch24_42 mdx=-3 mdy=1; transform id=ch24_13 mdx=-1 mdy=-1; transform id=ch24_23 mdx=-1 mdy=-1; transform id=ch24_33 mdx=-1 mdy=1 ; transform id=ch24_43 mdx=-1 mdy=1; transform id=ch24_14 mdx=1 mdy=-1; transform id=ch24_24 mdx=1 mdy=-1; transform id=ch24_34 mdx=1 mdy=1 ; transform id=ch24_44 mdx=1 mdy=1; transform id=ch24_15 mdx=3 mdy=-1; transform id=ch24_25 mdx=3 mdy=-1; transform id=ch24_35 mdx=3 mdy=1 ; transform id=ch24_45 mdx=3 mdy=1; transform id=ch24_16 mdx=5 mdy=-1; transform id=ch24_26 mdx=5 mdy=-1; transform id=ch24_36 mdx=5 mdy=1 ; transform id=ch24_46 mdx=5 mdy=1; delay=4000; transform id=ch24_11 mdx=5 mdy=1; transform id=ch24_21 mdx=5 mdy=1; transform id=ch24_31 mdx=5 mdy=-1; transform id=ch24_41 mdx=5 mdy=-1; transform id=ch24_12 mdx=3 mdy=1; transform id=ch24_22 mdx=3 mdy=1; transform id=ch24_32 mdx=3 mdy=-1; transform id=ch24_42 mdx=3 mdy=-1; transform id=ch24_13 mdx=1 mdy=1; transform id=ch24_23 mdx=1 mdy=1; transform id=ch24_33 mdx=1 mdy=-1; transform id=ch24_43 mdx=1 mdy=-1; transform id=ch24_14 mdx=-1 mdy=1; transform id=ch24_24 mdx=-1 mdy=1; transform id=ch24_34 mdx=-1 mdy=-1; transform id=ch24_44 mdx=-1 mdy=-1; transform id=ch24_15 mdx=-3 mdy=1; transform id=ch24_25 mdx=-3 mdy=1; transform id=ch24_35 mdx=-3 mdy=-1; transform id=ch24_45 mdx=-3 mdy=-1; transform id=ch24_16 mdx=-5 mdy=1; transform id=ch24_26 mdx=-5 mdy=1; transform id=ch24_36 mdx=-5 mdy=-1; transform id=ch24_46 mdx=-5 mdy=-1; transform id=ch24_11 opacity=1 ; transform id=ch24_12 opacity=0.3; transform id=ch24_13 opacity=0.3; transform id=ch24_14 opacity=0.3; transform id=ch24_15 opacity=0.3; transform id=ch24_16 opacity=0.3; transform id=ch24_21 opacity=1 ;transform id=ch24_22 opacity=0.3; transform id=ch24_23 opacity=0.3; transform id=ch24_24 opacity=0.3; transform id=ch24_25 opacity=0.3; transform id=ch24_26 opacity=0.3; transform id=ch24_31 opacity=0.3; transform id=ch24_32 opacity=0.3; transform id=ch24_33 opacity=0.3; transform id=ch24_34 opacity=0.3; transform id=ch24_35 opacity=0.3; transform id=ch24_36 opacity=0.3; transform id=ch24_41 opacity=0.3; transform id=ch24_42 opacity=0.3; transform id=ch24_43 opacity=0.3; transform id=ch24_44 opacity=0.3; transform id=ch24_45 opacity=0.3; transform id=ch24_46 opacity=0.3; write clear value="$\frac{1}{12}\text{ Schokoladentafel}$"; delay=2000; wait button="Von vorne!"; write clear value="/ "; transform id=ch24_11 opacity=1; transform id=ch24_12 opacity=1; transform id=ch24_13 opacity=1; transform id=ch24_14 opacity=1; transform id=ch24_15 opacity=1; transform id=ch24_16 opacity=1; transform id=ch24_21 opacity=1; transform id=ch24_22 opacity=1; transform id=ch24_23 opacity=1; transform id=ch24_24 opacity=1; transform id=ch24_25 opacity=1; transform id=ch24_26 opacity=1; transform id=ch24_31 opacity=1; transform id=ch24_32 opacity=1; transform id=ch24_33 opacity=1; transform id=ch24_34 opacity=1; transform id=ch24_35 opacity=1; transform id=ch24_36 opacity=1; transform id=ch24_41 opacity=1; transform id=ch24_42 opacity=1; transform id=ch24_43 opacity=1; transform id=ch24_44 opacity=1; transform id=ch24_45 opacity=1; transform id=ch24_46 opacity=1; delay=2000; repeat; Ein Bruch gibt nicht an, welche Teilstücke vom Ganzen gemeint sind. Sondern nur, welchen Anteil dieses Teilstück am Ganzen hat. So zeigen alle folgenden Zerlegungen $\frac{1}{12}$ einer ganzen Schokoladentafel: set originx=6 originy=4; paint id=ch1 chocolatebar x=0 y=0 width=10; delay=1000; groupstart id=g; paint chocolatebar x=0 y=0 rows="1" width=10; paint chocolatebar x=0 y=8 rows="1" width=10; groupend; delay=10; transform id=ch1 opacity=0.3; delay=6000; transform id=ch1 opacity=1; delay=2000; delete id=g; groupstart id=g; paint chocolatebar x=0 y=0 rows="1" width=10; paint chocolatebar x=10 y=0 rows="1" width=10; groupend; delay=10; transform id=ch1 opacity=0.3; delay=6000; transform id=ch1 opacity=1; delay=2000; delete id=g; groupstart id=g; paint chocolatebar x=20 y=8 rows="1" width=10; paint chocolatebar x=20 y=16 rows="1" width=10; groupend; delay=10; transform id=ch1 opacity=0.3; delay=6000; transform id=ch1 opacity=1; delay=2000; delete id=g; groupstart id=g; paint chocolatebar x=10 y=8 rows="1" width=10; paint chocolatebar x=30 y=16 rows="1" width=10; groupend ; delay=10; transform id=ch1 opacity=0.3; delay=2000; wait button="Von vorne!"; write clear value="/ "; transform id=ch1 opacity=1; delay=1000; delete id=g; repeat; Hoppla! /// In einer dieser Zerlegungen bestand das ,,Teilstück'' eigentlich aus zwei kleineren Teilstücken! set originx=6 originy=4; paint id=ch1 chocolatebar x=0 y=0 width=10; delay=1000; groupstart id=g; paint chocolatebar x=10 y=8 rows="1" width=10; paint chocolatebar x=30 y=16 rows="1" width=10; groupend ; delay=10; transform id=ch1 opacity=0.3; Also aus zwei Teilstücken, von denen jedes $\frac{1}{24}$ einer ganzen Schokolade ist. Auch das lässt sich als Bruch darstellen: set originx=10 originy=10; delay=2000; write clear value="Zwei ..."; paint text x=0 y=-2 align=center valign=bottom value="2" size=1.5 opacin; delay=4000; write clear value="... von ..."; paint line x=-5 y=0 x2=5 y2=0 fadein=west thickness=6; delay=4000; write clear value="... vierundzwanzig gleich großen Anteilen ..."; paint text x=0 y=3 align=center valign=top value="24" size=1.5 opacin; delay=4000; write clear value="... an einer ganzen Schokoladentafel."; paint text x=7 y=0 valign=middle value="Schokoladentafel" size=1.5 fadein=west; wait button="Alles anzeigen!" delay=10000; write all; repeat button; Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an. Er besteht aus einem Nenner, einem Zähler und einem Bruchstrich. set originx=35 originy=15; paint text x=0 y=-2 align=center valign=bottom value="2" size=1.5 opacin; paint line x=-5 y=0 x2=5 y2=0 fadein=west thickness=6; paint text x=0 y=3 align=center valign=top value="24" size=1.5 opacin; paint text x=6 y=0 valign=middle value="Tafel" size=1.5 fadein=west; paint text value="Nenner" valign=middle x=6 y=11 color=red fadein=west; paint pointer x=2 y=8 x2=5 y2=11 reverse color=red fadein=east; paint text value="Zähler" valign=middle x=6 y=-11 color=red fadein=west; paint pointer x=2 y=-8 x2=5 y2=-11 reverse color=red fadein=east; paint text value="Bruchstrich" align=right x=-8 y=-5 color=red fadein=west; paint pointer x=-5.5 y=-1 x2=-9 y2=-4 reverse color=red fadein=west; paint text value="Ganzes" valign=top x=25 y=8 color=red fadein=west; paint pointer x=21 y=3 x2=25 y2=7 reverse color=red fadein=east;

Der Nenner unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele gleich große Bruchteile das Ganze geteilt ist.
Der Zähler über dem Bruchstrich gibt an, wie viele dieser Bruchteile der gesamte Anteil umfasst.

Merke dir die Eselsbrücke:

,,Der Zähler zählt die Anzahl der Anteile.''
,,Der Nenner benennt die Zerlegung des Ganzen.''

Wenn du die Schokolade bekommst, dann ist es dir sicher egal, ob du ein Stück bekommst, das $\frac{1}{12}$ der Schokoladentafel groß ist, oder ob du zwei Stücke bekommst, die jeweils $\frac{1}{24}$ der Schokoladentafel groß sind. Es ist immer gleich viel. Unterschiedliche Brüche können also denselben Anteil angeben, zum Beispiel: set originx=6 originy=4; // ganze Schokolade // Spaltenzerlegung groupstart id=ch6; paint id=ch6_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10; groupend; write clear value="$\frac{1}{2}$ Schokoladentafel $= \frac{3}{6}$ Schokoladentafel"; delay=10; // Halbieren transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2; transform id=ch6_13 mdx=-2; transform id=ch6_14 mdx=2 ; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=2 ; transform id=ch6_12 mdx=2 ; transform id=ch6_13 mdx=2; transform id=ch6_14 mdx=-2; transform id=ch6_15 mdx=-2; transform id=ch6_16 mdx=-2; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; delay=2000; transform id=ch6_11 mdx=-4 ; transform id=ch6_12 mdx=-2; delay=3000; transform id=ch6_11 mdx=4 ; transform id=ch6_12 mdx=2; wait delay; transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=1000; // Sechsteln write clear value="$\frac{1}{3}$ Schokoladentafel $= \frac{2}{6}$ Schokoladentafel"; transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2; transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2; delay=4000; transform id=ch6_11 mdx=2; transform id=ch6_12 mdx=2; transform id=ch6_15 mdx=-2 ; transform id=ch6_16 mdx=-2; transform id=ch6_13 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3; transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3; delay=2000; transform id=ch6_11 mdx=-2; delay=2000; wait button="Von vorne!"; write clear value="/ "; transform id=ch6_11 mdx=2; delay=2000; transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1; transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1; delay=2000; repeat; Den eigentlichen Anteil an einem Ganzen nennt man Bruchzahl. /// Dieselbe Bruchzahl, also denselben Anteil am Ganzen, kannst du mit unterschiedlichen Brüchen darstellen. /// Dass zwei (unterschiedliche) Brüche dieselbe Bruchzahl darstellen, zeigst du durch ein Gleichheitszeichen: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ /// Man sagt dann: ,,Die beiden Brüche sind gleich groß.'' Nochmal die Situation vom Anfang: /// Paula: ,,Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!'' /// John: ,,Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!'' /// set originx=1 originy=1; paint chocolatebar x=0 y=0 bars="6,6,6,6" width=10; Jetzt kannst du sicher ganz leicht sagen, wer von beiden mehr Schokolade bekommen hat. Oder? $_page.introtext="Hast du alles verstanden?";; ; ; $_bruch1_3_complete = ($_page.inputs.bruch1_3_1b != "") .and. ($_page.inputs.bruch1_3_2a != "") .and. ($_page.inputs.bruch1_3_3a != "") .and. ($_page.inputs.bruch1_3_3b != "") .and. true; $_bruch1_3_correct = ($_page.inputs.bruch1_3_1b == 4) .and. ($_page.inputs.bruch1_3_2a == 6) .and. ($_page.inputs.bruch1_3_3a > 0) .and. ($_page.inputs.bruch1_3_3b == ($_page.inputs.bruch1_3_3a * 4)) .and. true; ; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie heißen die Bestandteile dieses Bruchs? set originx=8 originy=7; paint text value="3" x=0 y=-1 align=center valign=bottom; paint line x=-2 y=0 x2=2 y2=0; paint text value="7" x=0 y=0 align=center valign=top; text="Die 3 ist der Zähler." correct; text="Die 7 ist der Zähler."; text="Die 7 ist der Nenner." correct; text="Zwischen Zähler und Nenner ist der Bruchstrich." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welche Bruchzahlen sind dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken ///

paint chocolatebar x=1 y=1 width=10 opacity=0.3; paint chocolatebar x=1 y=1 rows="3,3" width=10;	/// /_
	1

	/// /_
paint chocolatebar x=1 y=1 width=10 opacity=0.3; paint chocolatebar x=20 y=1 rows="2,2,2" width=10;	/// /_

	24
	/// /_
paint chocolatebar x=1 y=1 width=10 opacity=0.3; paint chocolatebar x=1 y=8 rows="6" width=10;	/// /_


	/// /_

Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).

Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen, verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten. Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.

Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen

Größen und Messen

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Raum und Form

Grundlagen

Was ist Geometrie? Punktabstände und Streckenlängen messen Punktabstände und Streckenlängen abzählen Geraden und Halbgeraden Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Figuren auf Karopapier verschieben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen

6. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Potenzen Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25 Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2) Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Terme

Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks

Größen und Messen

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Raum und Form

Grundlagen

Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren auf Karopapier verschieben Figuren mit dem Geodreieck verschieben Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

7. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Potenzen Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen

Brüche

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind gemischte Zahlen? Umwandeln unechter Brüche in gemischte Zahlen Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Multiplikation und Division von gemischten Zahlen Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen

Terme

Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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8. Klasse

Zahlen und Rechnen

Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Terme

Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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9. Klasse

Zahlen und Rechnen

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Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren

Daten und Zufall

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Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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10. Klasse

Zahlen und Rechnen

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Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Was ist eine Potenzfunktion? Potenzfunktionen lösen Graphen der Potenzfunktion $f(x)=x^n$ skizzieren Wurzelfunktion und ihre Definitions- und Wertemenge Parametern in Funktionstermen von Potenzfunktion deuten Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Graphen von Exponentialfunktionen skizzieren Parameter in Exponential- und Wurzelfunktionen deuten Was ist ein Logarithmus? Exponentielle Gleichungen mit Logarithmen lösen Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren Wachstumsvorgänge deuten Steigungsverhalten von Funktionen beschreiben Grenzwertbegriff im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen Was ist eine Ableitung einer ganzrationalen Funktion? Ableitung berechnen Ableitungsfunktionen durch graphisches Differenzieren ermitteln Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmen Extremstellen, Wendestellen, Symmetrie und Asymptoten

Wahrscheinlichkeiten

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Für Lehrerinnen und Lehrer

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!

Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“ erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken, Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.

Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.

Ihre Lernthemen-Auswahl:

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Datenschutzerklärung

1. Allgemeines zur Datenverarbeitung

1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten

Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist. Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin. Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.

1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten

Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage. Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage. Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.

1.3 Datenlöschung und Speicherdauer

Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt. Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde. Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.

2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles

2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.

Folgende Daten werden hierbei erhoben:

IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde

Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.

2.2 Zweck der Datenverarbeitung

Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen. Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.

Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen. Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme. In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO. Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.

2.3 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist. Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall. Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.

2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich. Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

3. Verwendung von Cookies

Unsere Webseite verwendet keine Cookies.

4. Kontaktformular

4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

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Im Zeitpunkt der Absendung der Nachricht werden zudem folgende Daten gespeichert:

Datum und Uhrzeit des Absendens

Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.

Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.

4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung

Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.

4.3 Zweck der Datenverarbeitung

Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.

4.4 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist. Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.

4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen. Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden. Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.

5. Feedbackformulare

5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert. Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.

5.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

6. Formular zum Mailen von Lerncodes

6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

E-Mail-Adresse
Lerncode

6.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.