Hier lernst du, dass ein Bruch eine rationale Zahl ist und wie du ihn auf dem Zahlenstrahl darstellst.
Hier lernst du, dass ein Bruch eine rationale Zahl ist und wie du ihn auf dem Zahlenstrahl darstellst.
Was sind rationale Zahlen?
Du hast gelernt, dass \frac34 von 24 die (natürliche) Zahl 18 ist:
\frac34 von 24 =(24:4) ⋅ 3=18
Der Anteil \frac34 von 24 ist also eine Zahl, nämlich 18.
Ist aber auch der Anteil \frac13 an einer 1 eine Zahl? Und wenn ja, welche?
wie du einen Bruch auf dem Zahlenstrahl darstellst und
dass Brüche rationale Zahlen sind.
Die Zahl \frac13 können wir als Anteil an einem ganzen Kreis darstellen:
Dazu zerlegen wir den ganzen Kreis in 3 gleich große Teilstücke ("Segmente"). Die Zahl \frac13 wird von jeweils einem der 3 Teilstücke des Kreises dargestellt.
Aber welche Zahl ist \frac13?
Wenn \frac13 eine Zahl ist, muss sie auf dem Zahlenstrahl liegen. Suchen wir sie!
Hm, keine Zahl zu sehen, die aussieht wie \frac13.
Also lasst uns überlegen:
\frac13 ist mehr als 0, denn im Kreis ist ein Anteil dunkel ausgefüllt.
Und \frac13 ist weniger als 1, denn es ist nur ein Teil des ganzen Kreises ausgefüllt.
Also muss \frac13 auf dem Zahlenstrahl irgendwo zwischen der 0 und der 1 liegen.
Aber wo genau?
Eine Idee: Mit Brüchen kann man auch Anteile von Strecken angeben.
Teilen wir die Strecke zwischen der 0 und der 1 also mal in 3 gleich lange Teilstücke:
Jeder dieser 3 Abschnitte hat die Länge \frac13 der Strecke zwischen 0 und 1. Diese Striche können wir von der 0 aus zählen. Allerdings haben wir nicht die Striche für die natürlichen (oder die ganzen) Zahlen gezählt, sondern die Striche für die 3 Abschnitte. Das machen wir deutlich, indem wir den Nenner 3 dazu schreiben. Damit haben wir den Strichen Brüche zugeordnet. Jetzt kannst du ganz leicht erkennen, wo die einzelnen Brüche auf dem Zahlenstrahl liegen. (Und du siehst, dass der Bruch \frac33 der natürlichen Zahl 1 entspricht.)
Das geht natürlich auch bei Brüchen mit anderen Nennern:
Aufgabe: Markiere den Bruch \frac34 auf dem Zahlenstrahl.
1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.
Natürlich kannst du auch Brüche markieren, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner:
Aufgabe: Markiere den Bruch \frac74 auf dem Zahlenstrahl.
1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen wieder in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus wieder so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.
Und wenn ein Minus vor dem Bruch steht? Dann ist der Bruch negativ und du musst die negativen Teilstrecken zählen, also von der 0 aus nach links:
Aufgabe: Markiere den Bruch -\ \frac35 auf dem Zahlenstrahl.
1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.
Der Nenner eines Bruchs unterteilt auf dem Zahlenstrahl die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in Teilstrecken.
Der Zähler eines Bruchs zählt die Anzahl der Teilstrecken bis zum Bruch.
Aber wir wissen immer noch nicht, was für Zahlen Brüche sind.
Betrachten wir zuerst solche Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenner ist.
Untersuchen wir den Bruch \frac84 Wir unterteilen die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in 4 gleiche Teilstrecken. Dann zählen wir 8 Teilstriche ab. Der Bruch \frac84 entspricht also der natürlichen Zahl 2.
Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, entsprechen einer ganzen Zahl.
Denn ein Bruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division des Zählers durch den Nenner. Und wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, klappt die Division ohne Rest:
Aber was ist mit den übrigen Brüchen? Zum Beispiel mit \frac13?
Wir haben gesehen: \frac13 kann keine ganze Zahl sein /- denn der Bruch liegt zwischen den beiden ganzen Zahlen 0 und 1.
Die Lösung:
Für solche Zahlen basteln wir uns ganz einfach mal so eine neue Zahlenmenge, nämlich die Menge der "rationalen Zahlen":
Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als Division einer ganzen Zahl durch eine zweite ganze Zahl (ohne die Null!) darstellen lassen.
Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist \Q, also ein Q (wie in "Quotient") mit doppelten Strichen. Oft findest du das Zeichen auch nur mit linkem doppelten Strich, und so kannst du das Zeichen auch schreiben.
Jede rationale Zahl, also jeder Quotient aus ganzen Zahlen, lässt sich als Bruch mit dem Dividenden als Zähler und dem Divisor als Nenner darstellen.
Und jeder Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner ist eine rationale Zahl.
Beispiele für rationale Zahlen:
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Ein Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen geht links und rechts immer weiter.";
text="Mit einem Zahlenstrahl lassen sich natürliche Zahlen darstellen." correct;
text="Ein Zahlenstrahl kann auch Fünfer, Zehner, Hunderter usw. zählen." correct;
text="Ein Zahlenstrahl beginnt immer mit der 0";
text="Die Millimeterskala eines Lineals funktioniert wie ein Zahlenstrahl." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Jede natürliche Zahl hat eine negative Gegenzahl." correct;
text="Die Null hat eine negative Gegenzahl.";
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind ganze Zahlen" correct;
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind natürliche Zahlen";
text="Der Zahlenstrahl mit den ganzen Zahlen geht links und rechts immer weiter." correct;
text="Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl mit ganzen Zahlen." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus:
$\frac{1}{#$zbr2_1_1a#}$ von #$zbr2_1_1c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_2a#}$ von #$zbr2_1_2c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_3a#}$ von #$zbr2_1_3c# $=$$:$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus:
$\frac{#$zbr2_2_1d#}{#$zbr2_2_1a#}$ von #$zbr2_2_1c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_2d#}{#$zbr2_2_2a#}$ von #$zbr2_2_2c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_3d#}{#$zbr2_2_3a#}$ von #$zbr2_2_3c# $=($$:$$) \cdot$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Brüche sind dunkel dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken:
///
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=4 num=3;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=6 num=1;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=3 num=3;
/// /_
/// /_
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Die Zahl $\frac{1}{3}$ können wir als Anteil an einem ganzen Kreis darstellen:
set originx=40 originy=20;
paint fracpie id=fp2 x=0 y=0 r=15 denom=3 num=1 opacity=0;
paint ellipse id=e1 x=0 y=0 r=15 fill=green;
delay=2000;
write clear value="Dazu zerlegen wir den ganzen Kreis in 3 gleich große Teilstücke (,,Segmente'').";
paint fracpie id=fp1 x=0 y=0 r=15 denom=3 num=3 opacin;
delay=100;
paint arcsegment id=as1a x=0 y=0 r=15 alpha1=360 alpha2=240 fill=green;
paint arcsegment id=as1b x=0 y=0 r=15 alpha1=240 alpha2=120 fill=green;
paint arcsegment id=as1c x=0 y=0 r=15 alpha1=120 alpha2=0 fill=green;
delay=20;
delete id=fp1; delete id=e1;
transform id=as1a mdx=-1.5 mdy=-1;
transform id=as1b mdx=0 mdy=2;
transform id=as1c mdx=1.5 mdy=-1;
wait delay;
write clear value="Die Zahl $\frac{1}{3}$ wird von jeweils einem der 3 Teilstücke des Kreises dargestellt.";
transform id=as1a mdx=1.5 mdy=1;
transform id=as1b mdx=0 mdy=-2;
transform id=as1c mdx=-1.5 mdy=1;
delay=1200;
transform id=fp2 opacity=1 transition=0s;
delete id=as1a opacout;
delete id=as1b opacout;
wait button="Von vorne!";
paint ellipse id=e1 x=0 y=0 r=15 fill=green opacin;
delay=1200;
repeat;
Aber welche Zahl ist $\frac{1}{3}$?
Wenn $\frac{1}{3}$ eine Zahl ist, muss sie auf dem Zahlenstrahl liegen. Suchen wir sie!
set originx=8 originy=7;
paint numberline x=0 y=0 min=-7 max=7 width=65 animate;
delay=2000;
write value="Hm, keine Zahl zu sehen, die aussieht wie $\frac{1}{3}$.";
Also lasst uns überlegen:
///
set originx=40 originy=20;
paint fracpie id=fp2 x=0 y=0 r=15 denom=3 num=1 opacin;
$\frac{1}{3}$ ist mehr als 0, denn im Kreis ist ein Anteil dunkel ausgefüllt.
Und $\frac{1}{3}$ ist weniger als 1, denn es ist nur ein Teil des ganzen Kreises ausgefüllt.
Also muss $\frac{1}{3}$ auf dem Zahlenstrahl irgendwo zwischen der 0 und der 1 liegen.
set originx=8 originy=12;
paint id=r1 rect x=25 y=-13 width=19 height=32 fill=green color=none opacity=0;
paint id=nl1 numberline x=0 y=0 min=-7 max=7 width=65 animate origin="35 1";
delay=2000;
transform id=nl1 scale=4 transition=2s;
delay=3000;
transform id=r1 opacity=0.2;
paint text value="?" align=center valign=middle color=green x=35 y=6 origin="35 6" scale=3 opacin;
delay=1000;
write value="Aber wo genau?";
Eine Idee:
Mit Brüchen kann man auch Anteile von Strecken angeben.
///
Teilen wir die Strecke zwischen der 0 und der 1 also mal in 3 gleich lange Teilstücke:
set originx=10 originy=12;
paint numberline x=0 y=0 min=-0.25 max=1.25 width=60 opacin;
delay=2000;
paint triangle x=23.3 y=-3 rotate=0 flyin;
paint line x=23.3 y=-2 x2=23.3 y2=2 color=green thickness=6 pencil keep;
transform id=pencil mdx=13.3 mdy=-4; transform id=triangle mdx=13.3 delay=1200;
paint line x=36.6 y=-2 x2=36.6 y2=2 color=green thickness=6 pencil;
delete id=triangle flyout;
delay=2000;
write clear value="Jeder dieser 3 Abschnitte hat die Länge $\frac{1}{3}$ der Strecke zwischen 0 und 1.";
paint pointer double x=10 y=-2 x2=23.3 y2=-2 color=green fadein=west;
paint latex x=16.6 y=-4 align=center value="\frac{1}{3}" opacin;
paint pointer double x=23.3 y=-2 x2=36.3 y2=-2 color=green fadein=west;
paint latex x=30 y=-4 align=center value="\frac{1}{3}" opacin;
paint pointer double x=36.6 y=-2 x2=50 y2=-2 color=green fadein=west;
paint latex x=43.3 y=-4 align=center value="\frac{1}{3}" opacin;
wait delay;
write clear value="Diese Striche können wir von der 0 aus zählen.";
paint id=b1 bubble x=23.3 y=-1 value="1" height=8 flyin=north;
paint latex x=23.3 y=10 align=center value="\style[green]{1}" fadein=west;
delay=1000; delete id=b1 opacout;
paint id=b1 bubble x=36.6 y=-1 value="2" height=8 flyin=north;
paint latex x=36.6 y=10 align=center value="\style[green]{2}" fadein=west;
delay=1000; delete id=b1 opacout;
paint id=b1 bubble x=50 y=-1 value="3" height=8 flyin=north;
paint latex x=50 y=10 align=center value="\style[green]{3}" fadein=west;
wdelay=1000; delete id=b1 opacout;
ait delay;
write clear value="Allerdings haben wir nicht die Striche für die natürlichen (oder die ganzen) Zahlen gezählt, sondern die Striche für die 3 Abschnitte." delay=1500;
write value="Das machen wir deutlich, indem wir den Nenner 3 dazu schreiben.";
paint line x=21 y=11 length=4.6 alpha=90 color=green fadein=north;
paint latex x=23.3 y=12 align=center valign=top value="\style[green]{3}" fadein=west;
paint line x=34.3 y=11 length=4.6 alpha=90 color=green fadein=north;
paint latex x=36.6 y=12 align=center valign=top value="\style[green]{3}" fadein=west;
paint line x=47.6 y=11 length=4.6 alpha=90 color=green fadein=north;
paint latex x=50 y=12 align=center valign=top value="\style[green]{3}" fadein=west;
wait delay;
write clear value="Damit haben wir den Strichen Brüche zugeordnet. Jetzt kannst du ganz leicht erkennen, wo die einzelnen Brüche auf dem Zahlenstrahl liegen.";
delay=2000;
write value="(Und du siehst, dass der Bruch $\frac{3}{3}$ der natürlichen Zahl 1 entspricht.)";
Das geht natürlich auch bei Brüchen mit anderen Nennern:
Aufgabe: Markiere den Bruch $\frac{3}{4}$ auf dem Zahlenstrahl.
set originx=8 originy=8;
groupstart id=p1;
paint pointer id=p1a x=19.5 y=-3 length=40 alpha=270 reverse thickness=4 color=green;
paint id=p1c rect x=-40 y=-5 width=60 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p1b line x=20 y=-4 x2=20 y2=-2 thickness=4 color=green opacity=0;
groupend;
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=60 opacin;
write clear value="1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist.";
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 step=0.25 captionstep=1 width=60 animate;
wait delay;
write clear value="2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist.";
transform id=p1b opacity=1;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
wait delay;
write clear value="3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.";
paint id=el1 ellipse x=35 y=6 rx=3.5 ry=4.5 color=none fill=green opacity=0.2 opacin;
paint latex x=35 y=6.5 align=center valign=middle value="\frac{3}{4}" opacin origin="35 4" scale=0.8;
write all button;
repeat button;
Natürlich kannst du auch Brüche markieren, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner:
Aufgabe: Markiere den Bruch $\frac{7}{4}$ auf dem Zahlenstrahl.
set originx=8 originy=8;
groupstart id=p1;
paint pointer id=p1a x=19.5 y=-3 length=40 alpha=270 reverse thickness=4 color=green;
paint id=p1c rect x=-40 y=-5 width=60 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p1b line x=20 y=-4 x2=20 y2=-2 thickness=4 color=green opacity=0;
groupend;
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=60 opacin;
write clear value="1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen wieder in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist.";
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 step=0.25 captionstep=1 width=60 animate;
wait delay;
write clear value="2. Zähle dann von der Null aus wieder so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist.";
transform id=p1b opacity=1;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
transform id=p1a mdx=5; delay=1500;
wait delay;
write clear value="3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.";
paint id=el1 ellipse x=55 y=6 rx=3.5 ry=4.5 color=none fill=green opacity=0.2 opacin;
paint latex x=55 y=6.5 align=center valign=middle value="\frac{7}{4}" opacin origin="55 4" scale=0.8;
write all button;
repeat button;
Und wenn ein Minus vor dem Bruch steht?
Dann ist der Bruch negativ und du musst die negativen Teilstrecken zählen, also von der 0 aus nach links:
Aufgabe: Markiere den Bruch $-\ \frac{3}{5}$ auf dem Zahlenstrahl.
set originx=8 originy=8;
groupstart id=p1;
paint pointer id=p1a x=40.5 y=-3 length=39.5 alpha=90 reverse thickness=4 color=green;
paint id=p1c rect x=40 y=-5 width=60 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p1b line x=40 y=-4 x2=40 y2=-2 thickness=4 color=green opacity=0;
groupend;
paint numberline x=0 y=0 min=-2 max=1 width=60 opacin;
write clear value="1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist.";
paint numberline x=0 y=0 min=-2 max=1 step=0.2 captionstep=1 width=60 animate;
wait delay;
write clear value="2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist.";
transform id=p1b opacity=1;
transform id=p1a mdx=-4; delay=1500;
transform id=p1a mdx=-4; delay=1500;
transform id=p1a mdx=-4; delay=1500;
wait delay;
write clear value="3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.";
paint id=el1 ellipse x=28 y=6 rx=4 ry=4.5 color=none fill=green opacity=0.2 opacin;
paint latex x=28 y=6.5 align=center valign=middle value="-\ \frac{3}{5}" opacin origin="28 4" scale=0.8;
write all button;
repeat button;
Der Nenner eines Bruchs unterteilt auf dem Zahlenstrahl die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in Teilstrecken.
///
Der Zähler eines Bruchs zählt die Anzahl der Teilstrecken bis zum Bruch.
Aber wir wissen immer noch nicht, was für Zahlen Brüche sind.
///
Betrachten wir zuerst solche Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenner ist.
set originx=8 originy=8;
write clear value="Untersuchen wir den Bruch $\frac{8}{4}$";
groupstart id=p1;
paint pointer id=p1a x=14.5 y=-3 length=40 alpha=270 reverse thickness=4 color=green;
paint id=p1c rect x=-40 y=-5 width=55 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p1b line x=15 y=-4 x2=15 y2=-2 thickness=4 color=green opacity=0;
groupend;
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=3 width=60 opacin;
delay=6000;
write clear value="Wir unterteilen die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in 4 gleiche Teilstrecken.";
paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=3 step=0.25 captionstep=1 width=60 animate;
delay=6000;
write clear value="Dann zählen wir 8 Teilstriche ab.";
transform id=p1b opacity=1;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
transform id=p1a mdx=3.75; delay=1500;
write clear value="Der Bruch $\frac{8}{4}$ entspricht also der natürlichen Zahl 2.";
repeat button;
Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, entsprechen einer ganzen Zahl.
Denn ein Bruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division des Zählers durch den Nenner.
Und wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, klappt die Division ohne Rest:
Aber was ist mit den übrigen Brüchen? Zum Beispiel mit $\frac{1}{3}$?
///
Wir haben gesehen: $\frac{1}{3}$ kann keine ganze Zahl sein /- denn der Bruch liegt zwischen den beiden ganzen Zahlen 0 und 1.
Die Lösung:
///
Für solche Zahlen basteln wir uns ganz einfach mal so eine neue Zahlenmenge, nämlich die Menge der ,,rationalen Zahlen'':
Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als Division einer ganzen Zahl durch eine zweite ganze Zahl
(ohne die Null!) darstellen lassen.
///
Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist $\Q$, also ein Q (wie in ,,Quotient'') mit doppelten Strichen.
set originx=15 originy=15;
paint ellipse x=0 y=0 rx=10 thickness=10;
paint line x=3 y=5 x2=10 y2=12 thickness=10;
paint line x=-6 y=-8 x2=-6 y2=8 thickness=10 pencil;
wait button="Von vorne!";
repeat;
Oft findest du das Zeichen auch nur mit linkem doppelten Strich, und so kannst du das Zeichen auch schreiben.
Jede rationale Zahl, also jeder Quotient aus ganzen Zahlen, lässt sich als Bruch mit dem Dividenden als Zähler und dem Divisor als Nenner darstellen.
///
Und jeder Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner ist eine rationale Zahl.
///
Beispiele für rationale Zahlen:
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
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1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten
Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage.
Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage.
Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.
1.3 Datenlöschung und Speicherdauer
Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt.
Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde.
Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.
2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles
2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.
Folgende Daten werden hierbei erhoben:
IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde
Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
2.2 Zweck der Datenverarbeitung
Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen.
Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.
Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen.
Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme.
In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.
2.3 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist.
Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall.
Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.
2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich.
Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
3. Verwendung von Cookies
Unsere Webseite verwendet keine Cookies.
4. Kontaktformular
4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
Betreff (optional)
E-Mail-Adresse des Absenders/der Absenderin (optional)
Text der Nachricht
Im Zeitpunkt der Absendung der Nachricht werden zudem folgende Daten gespeichert:
Datum und Uhrzeit des Absendens
Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.
Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.
4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung
Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.
4.3 Zweck der Datenverarbeitung
Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.
4.4 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist.
Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.
4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen.
Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden.
Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.
5. Feedbackformulare
5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert.
Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.
5.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
6. Formular zum Mailen von Lerncodes
6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
E-Mail-Adresse
Lerncode
6.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.