Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig
Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig
Brüche addieren und subtrahieren (2)
Eine Aufgabe, wie du sie ähnlich schon kennst:
Wie viel Schokolade hast du, wenn du zu \frac12 einer Schokoladentafel noch \frac13 der Tafel dazunimmst?
Dann hast du \frac56 einer Tafel Schokolade. Und lauter verschiedene Nenner ...
was ungleichnamige Brüche sind,
wie du ungleichnamige Brüche addierst und
wie du sie subtrahierst.
Wie viel ist \frac12+\frac13?
Weil die beiden Brüche ungleiche Nenner haben, stellen wir sie auf zwei unterschiedllichen Zahlengeraden dar:
Addition heißt, die Pfeile aneinanderzuhängen. Machen wir das mal! Ups! Die Pfeile zeigen nun "irgendwohin" /- nur nicht auf einen bestimmten Strich auf der Zahlengeraden!
Was tun?
Versuchen wir mal, die Unterteilungen auf den Zahlengeraden zu "verfeinern":
Halbieren wir mal alle Teilstrecken. Super, unten haben wir jetzt einen Strich, auf den die Pfeile zeigen: genau in der Mitte zwischen \frac23 und 1. Oben aber noch nicht. Versuchen wir oben eine andere Unterteilung: eine Dreiteilung. Jetzt haben wir auch oben einen Strich, auf den die aneinandergehängten Pfeile zeigen: zwischen \frac12 und 1, näher an der 1. Fällt dir was auf? Oben und unten haben wir nun dieselbe Unterteilung in Teilstrecken. Was ist das für eine Unterteilung? Zählen wir nach! Genau, es ist eine Teilung der Strecke zwischen den ganzen Zahlen in 6 Teilstrecken. Und plötzlich zeigen die Pfeile auf ganz andere Brüche ...
Aus der Addition \frac12+\frac13 haben wir nun eine andere Addition gemacht: Aus \frac12+\frac13 wird \frac36+\frac26.
Damit wir das Ergebnis von \frac12+\frac13 am Zahlenstrahl ablesen können, mussten wir also die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben:
\frac12+\frac13| Brüche erweitern =\frac1⋅32⋅3+\frac1⋅23⋅2| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac36+\frac26| Zähler addieren =\frac3+26 =\frac56
Merke dir schon mal:
Haben mehrere Brüche ungleiche Nenner, nennt man sie ungleichnamig.
Wichtiger aber ist:
Um Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.
Ein gemeinsamer Nenner heißt Hauptnenner der Brüche.
1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann addiere die jetzt gleichnamigen Brüche.
Das Ergebnis der Addition kannst du manchmal noch kürzen.
\frac23+\frac14| Brüche erweitern =\frac2⋅43⋅4+\frac1⋅34⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac812+\frac312| Zähler addieren =\frac8+312 =\frac1112
\frac14+\frac38| Brüche erweitern =\frac1⋅24⋅2+\frac38| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac28+\frac38| Zähler addieren =\frac2+38 =\frac58
\frac115+\frac35| Brüche erweitern =\frac115+\frac3⋅35⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac115+\frac915| Zähler addieren =\frac1+915 =\frac1015| kürzen =\frac10:515:5 =\frac23
Für die Addition müssen die Brüche so erweitert werden, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Und der ist immer ein gemeinsames Vielfaches der ursprünglichen Nenner.
Ein Hauptnenner kann immer das Produkt aus beiden Nennern sein:
\frac12 und \frac13 können auf den Hauptnenner 2⋅3=6 erweitert werden: \frac1⋅32⋅3=\frac36 \frac1⋅23⋅2=\frac26
\frac25 und \frac37 können auf den Hauptnenner 5⋅7=35 erweitert werden: \frac2⋅75⋅7=\frac1435 \frac3⋅57⋅5=\frac1535
\frac14 und \frac38 können auf den Hauptnenner 4⋅8=32 erweitert werden: \frac1⋅84⋅8=\frac832 \frac3⋅48⋅4=\frac1232
Zwei Brüche haben immer ganz viele mögliche Hauptnenner.
Hauptnenner von \frac12 und \frac13 sind zum Beispiel 6, 12, 18, 24 usw. /- also alle Vielfache des Produkts der Nenner 2⋅3=6.
Manche Brüche haben auch kleinere Hauptnenner als das Produkt der Nenner, zum Beispiel \frac14 und \frac38. Hier ist bereits der Nenner 8 ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner 4 und 8, denn 8=4⋅2.
Suche bei der Addition von ungleichnamigen Brüchen immer einen möglichst kleinen Hauptnenner.
Je kleiner der Hauptnenner ist, desto leichter ist die Rechnung.
Die Rechnung
\frac14+\frac38| Brüche erweitern =\frac1⋅24⋅2+\frac38| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac28+\frac38| Zähler addieren =\frac2+38 =\frac58
ist (etwas) leichter als
\frac14+\frac38| Brüche erweitern =\frac1⋅84⋅8+\frac3⋅48⋅4| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac832+\frac1232| Zähler addieren =\frac8+1232 =\frac2032| kürzen =\frac58
Der kleinste Hauptnenner von zwei Brüchen ist die kleinste Zahl, die das Vielfache ihrer Nenner ist.
Diese Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von zwei Zahlen.
Du schreibst:
\kgV(2, 3)=6(denn 2⋅3=6 und 3⋅2=6)
\kgV(4, 8)=8(denn 4⋅2=8)
\kgV(10, 15)=30(denn 10⋅3=30 und 15⋅2=30)
Das sprichst du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 15 ist (gleich) 30."
Den Hauptnenner (also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) kannst du durch Probieren herausfinden.
Oder systematisch, indem die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst:
Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45? Lösungsweg:
1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. \kgV(60,\ 45)=180.
Ein häufiger Fehler beim Erweitern von zwei Brüchen auf einen Hauptnenner ist es, nur die Nenner zu "erweitern". Aber:\frac23+\frac15\neq\frac23⋅5+\frac15⋅3
Wie geht nun die Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen?
Ganz genauso wie bei der Addition:
Um Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren, müssen du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.
1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann subtrahiere die jetzt gleichnamigen Brüche.
\frac23\minus\frac14| Brüche erweitern =\frac2⋅43⋅4\minus\frac1⋅34⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac812-\frac312| Zähler subtrahieren =\frac8-312 =\frac512
\frac34\minus\frac38| Brüche erweitern =\frac3⋅24⋅2-\frac38| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac68-\frac38| Zähler subtrahieren =\frac6-38 =\frac38
\frac35\minus\frac415| Brüche erweitern =\frac3⋅35⋅3-\frac415| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac915-\frac415| Zähler addieren =\frac9-415 =\frac515| kürzen =\frac5:515:5 =\frac13
Und was ist bei der Addition und Subtraktion mit negativen Brüchen?
Kein Problem, wenn du dir sicher in der Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen bist:
Bei negativen Brüchen musst du vor der Addition oder Subtraktion noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:
\frac23+(-\frac14)| Vorzeichen vor Zähler ziehen =\frac23+\frac-14| Brüche erweitern =\frac2⋅43⋅4+\frac(-1)⋅34⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac812+\frac-312| Zähler addieren =\frac8+(-3)12 =\frac512
(-\frac34)\minus\frac18| Vorzeichen vor Zähler ziehen =\frac-34-\frac18| Brüche erweitern =\frac(-3)⋅24⋅2-\frac18| in Zähler und Nenner multiplizieren =\frac-68-\frac18| Zähler subtrahieren =\frac(-6)\minus18 =\frac-78| Vorzeichen vor den Bruch ziehen =-\frac78
Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig
Brüche addieren und subtrahieren (2)
Eine Aufgabe, wie du sie ähnlich schon kennst:
///
Wie viel Schokolade hast du, wenn du zu $\frac{1}{2}$ einer Schokoladentafel
noch $\frac{1}{3}$ der Tafel dazunimmst?
paint id=c0 chocolatebar x=1 y=1 width=10 opacity=0;
paint id=c1 chocolatebar x=25 y=1 width=10 rows="3,3,3,3" opacin;
delay=1000;
transform id=c1 mdx=-24;
delay=2000;
paint id=c2 chocolatebar x=40 y=1 width=10 rows="2,2,2,2" opacin;
delay=1000;
transform id=c2 mdx=-9;
delay=2000;
transform id=c0 opacity=0.3;
write value="Dann hast du $\frac{5}{6}$ einer Tafel Schokolade." delay=2000;
write value="Und lauter verschiedene Nenner ...";
Erweitere den Bruch $\frac{#$brerwz_1#}{#$brerwn_1#}$
///
mit 2:$\tab$
/// /_
mit 3:$\tab$
/// /_
mit 5:$\tab$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Kürze den Bruch $\frac{#$brerwz_2#}{#$brerwn_2#}$
///
durch 2:$\tab$
/// /_
durch 3:$\tab$
/// /_
durch 5:$\tab$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche der Brüche sind vollständig gekürzt? Klicke sie an!
///
$\frac{4}{6}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{15}{18}$
$\frac{15}{19}$
$\frac{8}{12}$
$\frac{1}{9}$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch?
///
text="Gleichnamige Brüche haben den gleichen Nenner." correct;
text="Gleichnamige Brüche haben den gleichen Zähler.";
text="Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen muss man die Zähler addieren." correct;
text="Brüche kann man nicht addieren.";
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Welche Rechnungen sind richtig?
///
$\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$
$\frac{5}{12}+\frac{5}{13}=\frac{10}{12}$
$\frac{4}{5}-\frac{4}{6}=0$
$\frac{5}{9}+\frac{3}{4}=\frac{8}{13}$
$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
$\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Wie viel ist $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$?
///
Weil die beiden Brüche ungleiche Nenner haben, stellen wir sie auf zwei unterschiedllichen Zahlengeraden dar:
set originx=5 originy=7;
paint numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=2 captionqstep=2 captiontype=fracfix xanimate;
paint numberline zx=0 y=15 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=3 captionqstep=3 captiontype=fracfix xanimate;
paint id=p1 pointer x=0 y=-3 length=20 alpha=90 color=red thickness=3 fadein=west;
paint id=p2 pointer x=0 y=12 length=13.3 alpha=90 color=green thickness=3 fadein=west;
delay=2000;
write clear value="Addition heißt, die Pfeile aneinanderzuhängen. Machen wir das mal!";
delay=2000;
paint id=p1a pointer x=0 y=-3 length=20 alpha=90 color=red thickness=3;
paint id=p2a pointer x=0 y=12 length=13.3 alpha=90 color=green thickness=3;
delay=10;
transform id=p1a mdx=13.3 mdy=15;
transform id=p2a mdx=20 mdy=-15;
delay=5000;
write value="Ups! Die Pfeile zeigen nun ,,irgendwohin'' /- nur nicht auf einen bestimmten Strich auf der Zahlengeraden!";
repeat button;
Was tun?
///
Versuchen wir mal, die Unterteilungen auf den Zahlengeraden zu ,,verfeinern'':
set originx=5 originy=7;
paint line id=l1 x=0 y=-4 length=23 alpha=180 color=blue opacity=0;
paint id=nl1 numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=2 captionqstep=2 captiontype=fracfix;
paint id=nl2 numberline zx=0 y=15 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=3 captionqstep=3 captiontype=fracfix;
paint id=p1 pointer x=0 y=-3 length=20 alpha=90 color=red thickness=3 fadein=west;
paint id=p2 pointer x=0 y=12 length=13.3 alpha=90 color=green thickness=3 fadein=west;
paint id=p1a pointer x=0 y=-3 length=20 alpha=90 color=red thickness=3;
paint id=p2a pointer x=0 y=12 length=13.3 alpha=90 color=green thickness=3;
delay=10;
transform id=p1a mdx=13.3 mdy=15;
transform id=p2a mdx=20 mdy=-15;
delay=3000;
write clear value="Halbieren wir mal alle Teilstrecken.";
paint id=nl1a numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=4 captiontype=none animate;
paint id=nl2a numberline zx=0 y=15 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=6 captiontype=none animate;
wait delay;
write clear value="Super, unten haben wir jetzt einen Strich, auf den die Pfeile zeigen: genau in der Mitte zwischen $\frac{2}{3}$ und 1." delay=3000;
wait delay;
write clear value="Oben aber noch nicht. Versuchen wir oben eine andere Unterteilung: eine Dreiteilung.";
delete id=nl1a opacout;
delay=200;
paint id=nl1b numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=6 captiontype=none animate;
wait delay;
write clear value="Jetzt haben wir auch oben einen Strich, auf den die aneinandergehängten Pfeile zeigen: zwischen $\frac{1}{2}$ und 1, näher an der 1." delay=3000;
wait delay;
write clear value="Fällt dir was auf? Oben und unten haben wir nun dieselbe Unterteilung in Teilstrecken.";
delay=1000;
transform id=l1 mdx=6.66 opacity=0.3 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 delay=1100;
transform id=l1 mdx=6.66 opacity=0 delay=1100;
wait delay;
write clear value="Was ist das für eine Unterteilung? Zählen wir nach! Genau, es ist eine Teilung der Strecke zwischen den ganzen Zahlen in 6 Teilstrecken.";
delay=2000;
transform id=nl1 opacity=0 delay=0;
paint id=nl1c numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=6 captionqstep=6 captiontype=fracfix opacin;
delay=2000;
transform id=nl2 opacity=0 delay=0;
paint id=nl2c numberline zx=0 y=15 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=6 captionqstep=6 captiontype=fracfix opacin;
delay=2000;
write value="Und plötzlich zeigen die Pfeile auf ganz andere Brüche ...";
repeat button;
Aus der Addition $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ haben wir nun eine andere Addition gemacht:
set originx=5 originy=8;
paint id=nl1 numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=2 captionqstep=2 captiontype=fracfix;
paint id=p1 pointer x=0 y=-3 length=20 alpha=90 color=red thickness=3;
paint id=p1a pointer x=20 y=-3 length=13.3 alpha=90 color=green thickness=3;
delay=3000;
transform id=nl1 opacity=0 delay=0;
paint id=nl1c numberline zx=0 y=0 min=0 dwidth=40 width=60 qstep=6 captionqstep=6 captiontype=fracfix opacin;
delay=10000;
transform id=nl1 opacity=1 delay=0;
transform id=nl1c opacity=0 delay=1000;
repeat;
Aus $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ wird $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}$.
Damit wir das Ergebnis von $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ am Zahlenstrahl ablesen können,
mussten wir also die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben:
$\align[3:r]{\frac{1}{2}}\align[12]{+\frac{1}{3}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}+\frac{1\cdot2}{3\cdot2}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{3+2}{6}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{6}}$
Merke dir schon mal:
Haben mehrere Brüche ungleiche Nenner, nennt man sie ungleichnamig.
Wichtiger aber ist:
Um Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren,
musst du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.
///
Ein gemeinsamer Nenner heißt Hauptnenner der Brüche.
set originx=20 originy=8;
paint latex x=-6.5 y=0 value="\frac{2}{\style[green]{3}}";
paint id=op1 latex x=0 y=0 align=center value="\text{+}";
paint latex x=4 y=0 value="\frac{1}{\style[red]{4}}";
delay=2000;
paint latex x=-15 y=9.8 align=center value="\text{=}" opacin;
write clear value="1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs.";
paint id=b1 latex x=-6 y=0 value="\frac{2\cdot\style[none]{4}}{\style[green]{3}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b1 mdx=-5 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b2a latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2a mdx=-10.9 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b2b latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2b mdx=-10.9 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
paint latex x=0 y=9.8 align=center value="\text{+}" opacin;
write clear value="2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs.";
paint id=b2 latex x=4 y=0 value="\frac{1\cdot\style[none]{4}}{\style[red]{4}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b2 mdx=0 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b1a latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1a mdx=14.6 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b1b latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1b mdx=14.6 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
paint latex x=-15 y=19.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint id=br1a latex x=-11 y=10 value="\frac{2\cdot\style[red]{4}}{3\cdot\style[red]{4}}";
paint id=br1b latex x=-9.5 y=10 value="\frac{8}{12}" opacity=0;
transform id=br1a mdy=10 opacity=0;
transform id=br1b mdx=2 mdy=10 opacity=1;
paint latex x=0 y=19.8 align=center value="\text{+}" opacin;
paint id=br2a latex x=4 y=10 value="\frac{1\cdot\style[green]{3}}{4\cdot\style[green]{3}}";
paint id=br2b latex x=5.5 y=10 value="\frac{3}{12}" opacity=0;
transform id=br2a mdy=10 opacity=0;
transform id=br2b mdx=-2 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
write clear value="3. Dann addiere die jetzt gleichnamigen Brüche.";
paint latex x=-15 y=29.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint id=br3a latex x=0 align=center y=20 value="\frac{8+3}{12}" opacity=0;
delay=1000;
transform id=br3a mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint latex x=10 y=29.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint latex x=18 align=center y=30 value="\frac{11}{12}" opacin;
delay=1000;
write all button;
repeat button opacout;
Das Ergebnis der Addition kannst du manchmal noch kürzen.
$\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[12]{+\frac{1}{4}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}+\frac{1\cdot3}{4\cdot3}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8+3}{12}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{11}{12}}$
$\align[3:r]{\frac{1}{4}}\align[12]{+\frac{3}{8}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}+\frac{3}{8}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2+3}{8}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{8}}$
$\align[3:r]{\frac{1}{15}}\align[12]{+\frac{3}{5}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1}{15}+\frac{3\cdot3}{5\cdot3}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1}{15}+\frac{9}{15}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1+9}{15}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{10}{15}}$| kürzen
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{10:5}{15:5}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2}{3}}$
///
Für die Addition müssen die Brüche so erweitert werden, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.
Und der ist immer ein gemeinsames Vielfaches der ursprünglichen Nenner.
///
Ein Hauptnenner kann immer das Produkt aus beiden Nennern sein:
$\frac{1}{\style[green]{2}}$ und $\frac{1}{\style[red]{3}}$
können auf den Hauptnenner $\style[green]{2}\cdot\style[red]{3}=6$ erweitert werden:
$
\align[7:r]{\frac{1\cdot\style[red]{3}}{\style[green]{2}\cdot\style[red]{3}}}\align[6]{=\frac{3}{6}}
\align[7:r]{\frac{1\cdot\style[green]{2}}{\style[red]{3}\cdot\style[green]{2}}}=\frac{2}{6}
$
$\frac{2}{\style[green]{5}}$ und $\frac{3}{\style[red]{7}}$
können auf den Hauptnenner $\style[green]{5}\cdot\style[red]{7}=35$ erweitert werden:
$
\align[7:r]{\frac{2\cdot\style[red]{7}}{\style[green]{5}\cdot\style[red]{7}}}\align[6]{=\frac{14}{35}}
\align[7:r]{\frac{3\cdot\style[green]{5}}{\style[red]{7}\cdot\style[green]{5}}}=\frac{15}{35}
$
$\frac{1}{\style[green]{4}}$ und $\frac{3}{\style[red]{8}}$
können auf den Hauptnenner $\style[green]{4}\cdot\style[red]{8}=32$ erweitert werden:
$
\align[7:r]{\frac{1\cdot\style[red]{8}}{\style[green]{4}\cdot\style[red]{8}}}\align[6]{=\frac{8}{32}}
\align[7:r]{\frac{3\cdot\style[green]{4}}{\style[red]{8}\cdot\style[green]{4}}}=\frac{12}{32}
$
Zwei Brüche haben immer ganz viele mögliche Hauptnenner.
///
Hauptnenner von $\frac{1}{\style[green]{2}}$ und $\frac{1}{\style[red]{3}}$
sind zum Beispiel $6, 12, 18, 24$ usw. /- also alle Vielfache des Produkts der Nenner $\style[green]{2}\cdot\style[red]{3}=6$.
///
Manche Brüche haben auch kleinere Hauptnenner als das Produkt der Nenner,
zum Beispiel $\frac{1}{\style[green]{4}}$ und $\frac{3}{\style[red]{8}}$.
Hier ist bereits der Nenner $\style[red]{8}$ ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner $\style[green]{4}$ und $\style[red]{8}$,
denn $\style[red]{8}=\style[green]{4}\cdot2$.
Suche bei der Addition von ungleichnamigen Brüchen immer einen möglichst kleinen Hauptnenner.
///
Je kleiner der Hauptnenner ist,
desto leichter ist die Rechnung.
Die Rechnung
$\align[3:r]{\frac{1}{4}}\align[12]{+\frac{3}{8}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}+\frac{3}{8}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2+3}{8}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{8}}$
ist (etwas) leichter als
$\align[3:r]{\frac{1}{4}}\align[12]{+\frac{3}{8}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1\cdot8}{4\cdot8}+\frac{3\cdot4}{8\cdot4}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8}{32}+\frac{12}{32}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8+12}{32}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{20}{32}}$| kürzen
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{8}}$
Der kleinste Hauptnenner von zwei Brüchen
ist die kleinste Zahl, die das Vielfache ihrer Nenner ist.
///
Diese Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von zwei Zahlen.
///
Du schreibst:
$\align[15]{\kgV(2, 3)=6}$(denn $2\cdot3=6$ und $3\cdot2=6$)
$\align[15]{\kgV(4, 8)=8}$(denn $4\cdot2=8$)
$\align[15]{\kgV(10, 15)=30}$(denn $10\cdot3=30$ und $15\cdot2=30$)
Das sprichst du so: ,,Das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 15 ist (gleich) 30.''
Den Hauptnenner (also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) kannst du durch Probieren herausfinden.
///
Oder systematisch, indem die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst:
Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45?
///
Lösungsweg:
set originx=5 originy=7;
paint latex x=0 y=0 valign=middle value="60";
paint latex x=0 y=8 valign=middle value="45";
delay=1000;
write clear value="1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren.";
paint latex x=0 y=0 valign=middle value="60=";
paint latex x=12 y=0 align=center valign=middle value="2" fadein=west; paint latex x=15 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=18 y=0 align=center valign=middle value="2" fadein=west; paint latex x=21 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=24 y=0 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=27 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=30 y=0 align=center valign=middle value="5" fadein=west;
paint latex x=0 y=8 valign=middle value="45=";3\cdot5\cdot5";
paint latex x=12 y=8 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=15 y=8 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=18 y=8 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=21 y=8 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=24 y=8 align=center valign=middle value="5" fadein=west;
wait delay;
write clear value="2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen.";
paint line cx=24 cy=0 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=18 cy=8 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=30 cy=0 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=24 cy=8 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil;
wait delay;
write clear value="3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache!";
delay=2000;
paint latex x=0 y=18 valign=middle value="60\cdot3=180" fadein=west delay=1500;
paint latex x=0 y=26 valign=middle value="45\cdot2\cdot2=180" fadein=west delay=1500;
wait delay;
write clear value="Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180." delay=1100;
write value="$\kgV(60,\ 45)=180$.";
write all button;
repeat button;
Ein häufiger Fehler beim Erweitern von zwei Brüchen auf einen Hauptnenner ist es, nur die Nenner zu ,,erweitern''. Aber:
$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\style[bold]{\neq}\frac{2}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot3}$
Wie geht nun die Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen?
///
Ganz genauso wie bei der Addition:
Um Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren,
müssen du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.
set originx=20 originy=8;
paint latex x=-6.5 y=0 value="\frac{2}{\style[green]{3}}";
paint id=op1 latex x=0 y=0 align=center value="\minus";
paint latex x=4 y=0 value="\frac{1}{\style[red]{4}}";
delay=2000;
paint latex x=-15 y=9.8 align=center value="\text{=}" opacin;
write clear value="1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs.";
paint id=b1 latex x=-6 y=0 value="\frac{2\cdot\style[none]{4}}{\style[green]{3}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b1 mdx=-5 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b2a latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2a mdx=-10.9 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b2b latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2b mdx=-10.9 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
paint latex x=0 y=9.8 align=center value="\minus" opacin;
write clear value="2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs.";
paint id=b2 latex x=4 y=0 value="\frac{1\cdot\style[none]{4}}{\style[red]{4}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b2 mdx=0 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b1a latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1a mdx=14.6 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b1b latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1b mdx=14.6 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
paint latex x=-15 y=19.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint id=br1a latex x=-11 y=10 value="\frac{2\cdot\style[red]{4}}{3\cdot\style[red]{4}}";
paint id=br1b latex x=-9.5 y=10 value="\frac{8}{12}" opacity=0;
transform id=br1a mdy=10 opacity=0;
transform id=br1b mdx=2 mdy=10 opacity=1;
paint latex x=0 y=19.8 align=center value="\minus" opacin;
paint id=br2a latex x=4 y=10 value="\frac{1\cdot\style[green]{3}}{4\cdot\style[green]{3}}";
paint id=br2b latex x=5.5 y=10 value="\frac{3}{12}" opacity=0;
transform id=br2a mdy=10 opacity=0;
transform id=br2b mdx=-2 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
write clear value="3. Dann subtrahiere die jetzt gleichnamigen Brüche.";
paint latex x=-15 y=29.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint id=br3a latex x=0 align=center y=20 value="\frac{8\,\minus\,3}{12}" opacity=0;
delay=1000;
transform id=br3a mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint latex x=10 y=29.8 align=center value="\text{=}" opacin;
paint latex x=18 align=center y=30 value="\frac{5}{12}" opacin;
delay=1000;
write all button;
repeat button opacout;
$\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[12]{\minus\frac{1}{4}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}\minus\frac{1\cdot3}{4\cdot3}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}}$| Zähler subtrahieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{8-3}{12}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{12}}$
$\align[3:r]{\frac{3}{4}}\align[12]{\minus\frac{3}{8}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{3\cdot2}{4\cdot2}-\frac{3}{8}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{6}{8}-\frac{3}{8}}$| Zähler subtrahieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{6-3}{8}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{3}{8}}$
$\align[3:r]{\frac{3}{5}}\align[12]{\minus\frac{4}{15}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{3\cdot3}{5\cdot3}-\frac{4}{15}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{9}{15}-\frac{4}{15}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{9-4}{15}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5}{15}}$| kürzen
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{5:5}{15:5}}$
$\align[4]{}\align[11]{=\frac{1}{3}}$
Und was ist bei der Addition und Subtraktion mit negativen Brüchen?
///
Kein Problem, wenn du dir sicher in der Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen bist:
Bei negativen Brüchen musst du vor der Addition oder Subtraktion noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:
set originx=10 originy=8;
paint id=pminus line color=red x=0 y=0 alpha=90 length=3 thickness=4;
paint line x=5 y=0 alpha=90 length=10 thickness=4;
paint id=n text x=10 y=-1.5 align=center valign=bottom value="2" size=1.2;
paint text x=10 y=2 align=center valign=top value="3" size=1.2;
delay=2000;
transform id=n mdx=2;
transform id=pminus mdx=7 mdy=-3.2;
delay=5000;
transform id=n mdx=-2;
transform id=pminus mdx=-7 mdy=3.2;
delay=3000;
repeat;
$\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[13]{+(-\frac{1}{4})}$| Vorzeichen vor Zähler ziehen
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{2}{3}+\frac{-1}{4}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}+\frac{(-1)\cdot3}{4\cdot3}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{8}{12}+\frac{-3}{12}}$| Zähler addieren
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{8+(-3)}{12}}$
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{5}{12}}$
$\align[4:r]{(-\frac{3}{4})}\align[12]{\minus\frac{1}{8}}$| Vorzeichen vor Zähler ziehen
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{-3}{4}-\frac{1}{8}}$| Brüche erweitern
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{(-3)\cdot2}{4\cdot2}-\frac{1}{8}}$| in Zähler und Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{-6}{8}-\frac{1}{8}}$| Zähler subtrahieren
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{(-6)\minus1}{8}}$
$\align[4]{}\align[12]{=\frac{-7}{8}}$| Vorzeichen vor den Bruch ziehen
$\align[4]{}\align[12]{=-\frac{7}{8}}$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
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