Hier lernst du, wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder einer ganzen Zahl multiplizierst.
Hier lernst du, wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder einer ganzen Zahl multiplizierst.
Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren
Hugo will mit 5 Freunden einen Fußball kaufen. Jeder soll gleich viel bezahlen, also \frac16 des Kaufpreises.
4 Kinder haben ihren Beitrag schon zusammen. Welcher Anteil am Kaufpreis ist das?
wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder ganzen Zahl multiplizierst.
Welchen Anteil am Kaufpreis des Fußballs haben Hugo und seine Freunde schon zusammen, wenn 4 Kinder schon "bezahlt" haben?
Das kannst du natürlich leicht ausrechnen, indem du die Brüche addierst: \frac16+\frac16+\frac16+\frac16| Zähler addieren =\frac1+1+1+16| ausrechnen =\frac46| kürzen durch 2 =\frac23
Zwei Drittel des Kaufpreis haben sie also schon zusammen.
Auf dem Zahlenstrahl sieht diese Addition so aus:
Wir zeichnen die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich. Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander. Die Pfeile zeigen zusammen auf \frac46. Die Summe von \frac16+\frac16+\frac16+\frac16 ist also \frac46.
Eben haben wir vier gleiche Brüche mit dem Zähler 1 addiert. Wie ist das mit einem anderen Zähler? Wie viel ist zum Beispiel \frac310+\frac310+\frac310?
Schauen wir es uns an:
Wir zeichnen wieder die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich. Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander. Die Pfeile zeigen zusammen auf \frac910. Die Summe von \frac310+\frac310+\frac310 ist also \frac910.
Wir haben also diese beiden Additionen durchgeführt:
\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=\frac46
\frac310+\frac310+\frac310=\frac910
Aber geht das auch einfacher?
Klar!
Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen addierst du die Zähler. Wenn du aber mehrfach denselben Bruch (mit demselben Zähler) addierst, hast du was?
Natürlich eine Multiplikation!
1+1+1+1=4⋅1
3+3+3=3⋅3
Also kannst du die Additionen von gleichen Brüchen auch als Multiplikation schreiben:
\frac16+\frac16+\frac16+\frac16=4⋅\frac16
\frac310+\frac310+\frac310=3⋅\frac310
Und mit der ganzen Zahl multipliziert werden muss ... /- der Zähler:
4⋅\frac16=\frac4⋅16 =\frac46
3⋅\frac310=\frac3⋅310 =\frac910
Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl wird der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert.
Der Nenner bleibt unverändert.
2⋅\frac13| mit Zähler multiplizieren =\frac2⋅13 =\frac23
\frac211⋅3| mit Zähler multiplizieren =\frac2⋅311 =\frac611
6⋅\frac320| mit Zähler multiplizieren =\frac6⋅320 =\frac1820| kürzen durch 2 =\frac910
Du darfst nur den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, nicht aber den Nenner!
3⋅\frac210\neq\frac3⋅23⋅10
Das letzte Beispiel ist interessant, denn wir konnten am Schluss noch den Bruch kürzen. Das hättest du sogar schon vor der Multiplikation machen können!
Wenn in der Multiplikation die ganze Zahl und der Nennergemeinsame Teiler haben, kannst du beide durch diese Teiler kürzen:
6⋅\frac320| in ihre Teiler zerlegen =2⋅3⋅\frac32⋅2⋅5| gemeinsame Teiler streichen =\strikeout2⋅3⋅\frac3\strikeout2⋅2⋅5| multiplizieren =\frac3⋅32⋅5 =\frac910
Manche Teiler "siehst" du mit etwas Übung auch sofort. Und mit den gekürzten Zahlen rechnet es sich gleich viel leichter:
In allen Beispielen bisher waren beide Faktoren der Multiplikation positiv.
Was aber, wenn die ganze Zahl oder der Bruch negativ ist?
Dann wendest du ganz einfach das an, was du für die Multiplikation mit ganzen Zahlen gelernt hast:
(-2)⋅\frac13| mit Zähler multiplizieren =\frac(-2)⋅13 =\frac-23| Vorzeichen vorziehen =-\frac23
4⋅(-\frac317)| Vorzeichen in Zähler =4⋅\frac-317| mit Zähler multiplizieren =\frac4⋅(-3)17 =\frac-1217| Vorzeichen vorziehen =-\frac1217
(-3)⋅(-\frac320)| Vorzeichen in Zähler =(-3)⋅\frac-320| mit Zähler multiplizieren =\frac(-3)⋅(-3)20 =\frac920
Hier lernst du, wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder einer ganzen Zahl multiplizierst.
Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren
Hugo will mit 5 Freunden einen Fußball kaufen.
Jeder soll gleich viel bezahlen, also $\frac{1}{6}$ des Kaufpreises.
///
4 Kinder haben ihren Beitrag schon zusammen. Welcher Anteil am Kaufpreis ist das?
wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder ganzen Zahl multiplizierst.
Welche Merksprüche für Multiplikationen und Divisionen sind richtig? Klicke sie an.
///
Minus mal Plus ergibt Minus.
Minus mal Minus ergibt Minus.
Geteilt mit Plus und Plus ergibt Plus.
Geteilt mit Plus und Minus Minus.
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne und schreibe das Ergebnis in die Lücke.
///
$#$z211#\cdot(#$z212#)=$
///
$(#$z221#)\cdot#$z222#=$
///
$#$z231#\cdot(#$z232#)=$
///
$(#$z241#)\cdot(#$z242#)=$
///
$#$z251#\cdot#$z252#=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne und schreibe das Ergebnis in die Lücke.
///
$(#$z311#):(#$z312#)=$
///
$#$z321#:#$z322#=$
///
$(#$z331#):#$z332#=$
///
$(#$z341#):#$z342#=$
///
$#$z351#:(#$z352#)=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch?
///
text="Gleichnamige Brüche haben den gleichen Nenner." correct;
text="Gleichnamige Brüche haben den gleichen Zähler.";
text="Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen muss man die Zähler addieren." correct;
text="Brüche kann man nicht addieren.";
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Welche Rechnungen sind richtig?
///
$\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$
$\frac{5}{12}+\frac{5}{13}=\frac{10}{12}$
$\frac{4}{5}-\frac{4}{6}=0$
$\frac{5}{9}+\frac{3}{4}=\frac{8}{13}$
$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
$\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Welchen Anteil am Kaufpreis des Fußballs haben Hugo und seine Freunde schon zusammen, wenn 4 Kinder schon ,,bezahlt'' haben?
///
Das kannst du natürlich leicht ausrechnen, indem du die Brüche addierst:
///
$\align[3]{}\align[15]{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}$| Zähler addieren
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{1+1+1+1}{6}}$| ausrechnen
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{4}{6}}$| kürzen durch 2
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{2}{3}}$
///
Zwei Drittel des Kaufpreis haben sie also schon zusammen.
Auf dem Zahlenstrahl sieht diese Addition so aus:
set originx=5 originy=15;
groupstart id=all;
paint numberline zx=0 y=0 width=65 dwidth=54 qstep=6 captionqstep=6 captiontype=fracfix animate;
write clear value="Wir zeichnen die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich.";
paint id=p1 pointer x=0 y=-3 length=9 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
paint id=p2 pointer x=0 y=-6 length=9 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
paint id=p3 pointer x=0 y=-9 length=9 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
paint id=p4 pointer x=0 y=-12 length=9 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
delay=6000;
write clear value="Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander.";
transform id=p2 mdx=9 mdy=3 delay=2000;
transform id=p3 mdx=18 mdy=6 delay=2000;
transform id=p4 mdx=27 mdy=9 delay=2000;
delay=6000;
write clear value="Die Pfeile zeigen zusammen auf $\frac{4}{6}$." delay=1500;
paint line x=36 y=-2 length=4 alpha=180 color=red pencil thickness=6;
delay=6000;
groupend;
write clear value="Die Summe von $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ ist also $\frac{4}{6}$.";
write all button;
repeat button opacout;
Eben haben wir vier gleiche Brüche mit dem Zähler 1 addiert.
Wie ist das mit einem anderen Zähler? Wie viel ist zum Beispiel $\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}$?
///
Schauen wir es uns an:
set originx=3 originy=13;
groupstart id=all;
paint numberline zx=0 y=0 width=67 dwidth=60 qstep=10 captionqstep=10 captiontype=fracfix animate;
write clear value="Wir zeichnen wieder die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich.";
paint id=p1 pointer x=0 y=-3 length=17.7 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
paint id=p2 pointer x=0 y=-6 length=17.7 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
paint id=p3 pointer x=0 y=-9 length=17.7 alpha=90 color=green thickness=4 fadein=west;
delay=6000;
write clear value="Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander.";
transform id=p2 mdx=18 mdy=3 delay=2000;
transform id=p3 mdx=36 mdy=6 delay=2000;
delay=6000;
write clear value="Die Pfeile zeigen zusammen auf $\frac{9}{10}$." delay=1500;
paint line x=54 y=-2 length=4 alpha=180 color=red pencil thickness=6;
delay=6000;
groupend;
write clear value="Die Summe von $\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}$ ist also $\frac{9}{10}$.";
write all button;
repeat button opacout;
Wir haben also diese beiden Additionen durchgeführt:
///
Aber geht das auch einfacher?
///
Klar!
///
Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen addierst du die Zähler.
Wenn du aber mehrfach denselben Bruch (mit demselben Zähler) addierst, hast du was?
///
Natürlich eine Multiplikation!
$\align[9:r]{1+1+1+1}=4\cdot1$
$\align[9:r]{3+3+3}=3\cdot3$
Also kannst du die Additionen von gleichen Brüchen auch als Multiplikation schreiben:
Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl
wird der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert.
///
Der Nenner bleibt unverändert.
set originx=8 originy=7;
paint id=z1 latex x=0 y=0 valign=middle align=center value="3";
paint id=op1 latex x=3 y=0 valign=middle align=center value="\cdot";
paint id=l1 line x=6 y=0 alpha=90 length=10 thickness=4;
paint id=z2 latex x=11 y=-3 valign=middle align=center value="2";
paint id=z3 latex x=11 y=3 valign=middle align=center value="15";
delay=2000;
transform id=z2 mdx=-1;
transform id=l1 mdx=-4;
transform id=z3 mdx=-4;
transform id=z1 mdx=4 mdy=-3;
transform id=op1 mdx=4 mdy=-3;
delay=10000;
transform id=z2 mdx=1;
transform id=l1 mdx=4;
transform id=z3 mdx=4;
transform id=z1 mdx=-4 mdy=3;
transform id=op1 mdx=-4 mdy=3;
delay=2000;
repeat;
$\align[12]{2\cdot\frac{1}{3}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot1}{3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{3}}$
$\align[12]{\frac{2}{11}\cdot3}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot3}{11}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{6}{11}}$
$\align[12]{6\cdot\frac{3}{20}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{6\cdot3}{20}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{18}{20}}$| kürzen durch 2
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{9}{10}}$
Du darfst nur den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, nicht aber den Nenner!
///
$\tab3\cdot\frac{2}{10}\style[bold]{\neq}\frac{3\cdot2}{3\cdot10}$
///
Das letzte Beispiel ist interessant, denn wir konnten am Schluss noch den Bruch kürzen.
Das hättest du sogar schon vor der Multiplikation machen können!
Wenn in der Multiplikation die ganze Zahl und der Nennergemeinsame Teiler haben,
kannst du beide durch diese Teiler kürzen:
$\align[15]{6\cdot\frac{3}{20}}$| in ihre Teiler zerlegen
$\align[2]{}\align[13]{=2\cdot3\cdot\frac{3}{2\cdot2\cdot5}}$| gemeinsame Teiler streichen
$\align[2]{}\align[13]{=\strikeout{2}\cdot3\cdot\frac{3}{\strikeout{2}\cdot2\cdot5}}$| multiplizieren
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{3\cdot3}{2\cdot5}}$
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{9}{10}}$
///
Manche Teiler ,,siehst'' du mit etwas Übung auch sofort. Und mit den gekürzten Zahlen rechnet es sich gleich viel leichter:
In allen Beispielen bisher waren beide Faktoren der Multiplikation positiv.
///
Was aber, wenn die ganze Zahl oder der Bruch negativ ist?
///
Dann wendest du ganz einfach das an, was du für die Multiplikation mit ganzen Zahlen gelernt hast:
///
$\align[12]{(-2)\cdot\frac{1}{3}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{(-2)\cdot1}{3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{-2}{3}}$| Vorzeichen vorziehen
$\align[2]{}\align[10]{=-\frac{2}{3}}$
$\align[12]{4\cdot(-\frac{3}{17})}$| Vorzeichen in Zähler
$\align[2]{}\align[10]{=4\cdot\frac{-3}{17}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{4\cdot(-3)}{17}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{-12}{17}}$| Vorzeichen vorziehen
$\align[2]{}\align[10]{=-\frac{12}{17}}$
$\align[12]{(-3)\cdot(-\frac{3}{20})}$| Vorzeichen in Zähler
$\align[2]{}\align[10]{=(-3)\cdot\frac{-3}{20}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{(-3)\cdot(-3)}{20}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{9}{20}}$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.