Hier lernst du: was negative Zahlen sind, was ganze Zahlen sind und dass ,, minus 5 Grad'' keine Rechenanweisung ist.
Negative und ganze Zahlen
Ein Witz unter Mathematiker*innen:
"In einem Raum sind 2 Kinder. 5 Kinder verlassen den Raum. Wie viele Kinder müssen den Raum wieder betreten, damit er leer ist?"
Nun ja, "weniger als nichts" kann man nicht zählen. Mit natürlichen Zahlen kommen wir bei diesem Witz also nicht weiter.
Aber die Mathematik bietet dafür einen Ausweg! (Für das Problem. Nicht für die Kinder!)
was negative Zahlen sind,
was ganze Zahlen sind und
dass "minus 5 Grad" keine Rechenanweisung ist.
An einem Frühlingstag ist es am Nachmittag 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 10 Grad Celsius. Wie kalt ist es in der Nacht?
Auf dem Thermometer sieht das so aus:
Am Nachmittag ist es 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 10 Grad Celsius. Das Thermometer zeigt nun 5 Grad Celsius an.
Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl. Die Aufgabenstellung entspricht der Subtraktion 15-10=5.
Am Nachmittag endet die Quecksilbersäule beim 15. Strich vom Null-Strich aus. Die Abkühlung um 10 Grad Celsius entspricht der Subtraktion von 10 Strichen. Übrig bleiben 15-10=5 Striche vom Null-Strich aus.
Klar, oder?
Was aber, wenn es einen richtigen Kälteeinbruch gibt und die Temperatur um ganze 25 Grad Celsius fällt? Auf dem Thermometer sieht das dann so aus:
Am Nachmittag ist es noch 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 25 Grad Celsius. Die Quecksilbersäule endet nun bei einem Wert weit "unter Null".
Das Ganze wieder als Zahlenstrahl:
Am Nachmittag endet die Quecksilbersäule wieder beim 15. Strich vom Null-Strich aus. Hoppla, wir müssen mehr Striche nach links zählen als im Zahlenstrahl vorhanden sind! Was nun?
Das Problem ist: Wenn man eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert (hier: 15-25), kann das Ergebnis keine natürliche Zahl sein.
Aber was sonst?
Du ahnst es sicher schon: Beim Thermometer ist nämlich schon ein zweiter Zahlenstrahl angebracht, der sich nach links öffnet. Und an diesem Zahlenstrahl kannst du das Ergebnis ablesen:
Wir beginnen wieder beim 15. Strich auf dem rechten Zahlenstrahl. Zuerst zählen wir die 15 Striche bis zum Null-Strich herunter. Übrig bleiben 25-15=10 Striche. Diese restlichen 10 Striche zählen wir dann auf dem linken Zahlenstrahl nach links. Auf dem linken Zahlenstrahl steht dort der Wert "-10\gC". Das sprichst du so aus: "minus 10 Grad Celsius". Als Rechnung: 15\gC-25\gC=-10\gC, oder kurz: 15-25=-10.
Diesen zweiten Zahlenstrahl kannst du dir als Spiegelung des Zahlenstrahls der natürlichen Zahlen am Nullstrich vorstellen:
Der Zahlenstrahl wird am Null-Strich gespiegelt. Die Zahlen am linken Zahlenstrahl erhalten ein Minus-Zeichen als Vorzeichen.
Die Zahlen auf dem gespiegelten Zahlenstrahl links von der Null heißen negative Zahlen. Die Zahlen rechts von der Null heißen positive Zahlen. Negative Zahlen sind kleiner als Null. Positive Zahlen sind größer als Null.
Negative Zahlen werden mit einem Minus-Zeichen als Vorzeichen gekennzeichnet: "-3", "-10", "-2000". Das sprichst du so aus: "minus Drei", "minus Zehn", "minus Zweitausend".
In Rechenausdrücken ("Termen") werden negative Zahlen oft eingeklammert, um das Vorzeichen besser vom Minus-Operator zu unterscheiden: "13+(-8)", "(-2)⋅(-8)".
Weil die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl Spiegelungen der positiven Zahlen sind, stehen immer zwei von ihnen in einer gegenseitigen Beziehung:
Jede positive Zahl hat genau eine negative Zahl als Gegenzahl. Und umgekehrt. Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.Beispiele: Die Gegenzahl von 3 ist -3, die Gegenzahl von 10 ist -10, die Gegenzahl von -1000 ist 1000. Die Null hat keine Gegenzahl.
Auch die natürlichen Zahlen haben Gegenzahlen. Zusammen (und mit der Null) bilden sie eine neue Zahlenmenge:
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den natürlichen Zahlen, ihren Gegenzahlen und der Null.Das Zeichen für die Menge der ganzen Zahlen ist \Z, also ein "Z" mit verdoppeltem Schrägstrich.
Negative und ganze Zahlen
Ein Witz unter Mathematiker*innen:
///,,In einem Raum sind 2 Kinder.
5 Kinder verlassen den Raum. Wie viele Kinder müssen den Raum wieder betreten, damit er leer ist?''
Nun ja, ,,weniger als nichts'' kann man nicht zählen. Mit natürlichen Zahlen kommen wir bei diesem Witz also nicht weiter.
///Aber die Mathematik bietet dafür einen Ausweg! (Für das Problem. Nicht für die Kinder!)
was negative Zahlen sind,
was ganze Zahlen sind und
dass ,,minus 5 Grad'' keine Rechenanweisung ist.
;
;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Ein Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen geht links und rechts immer weiter.";
text="Mit einem Zahlenstrahl lassen sich natürliche Zahlen darstellen." correct;
text="Ein Zahlenstrahl kann auch Fünfer, Zehner, Hunderter usw. zählen." correct;
text="Ein Zahlenstrahl beginnt immer mit der 0";
text="Die Millimeterskala eines Lineals funktioniert wie ein Zahlenstrahl." correct;
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An einem Frühlingstag ist es am Nachmittag 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 10 Grad Celsius. Wie kalt ist es in der Nacht?
Auf dem Thermometer sieht das so aus:
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// Differenzfeld + Pointer + Blende
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Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl. Die Aufgabenstellung entspricht der Subtraktion $15-10=5$.
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// Differenzfeld + Pointer + Blende
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Klar, oder?
///Was aber, wenn es einen richtigen Kälteeinbruch gibt und die Temperatur um ganze 25 Grad Celsius fällt?
Auf dem Thermometer sieht das dann so aus:
set originy=51 originx=40;
// Differenzfeld + Pointer + Blende
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// Umriss
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// Null-Linie
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paint line x=1.3 y=20 alpha=270 length=7;
paint latex x=-7 y=20 valign=middle value="-20\circ\text{C}" align=right;
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// Quecksilbersäule + Blende
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write value="Am Nachmittag ist es noch 15 Grad Celsius warm.";
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write clear value="In der Nacht fällt die Temperatur um 25 Grad Celsius.";
//transform id=p my=25 transition=6s;
//transform id=q my=25.2 transition=6s;
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//paint latex valign=middle y=-2.5 x=22 value="\style[blue]{-25\circ\text{C}}" opacin group=diff;
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write clear value="Die Quecksilbersäule endet nun bei einem Wert weit ,,unter Null''.";
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Das Ganze wieder als Zahlenstrahl:
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//paint id=q rect x=0 y=-40.4 width=20 height=25.2 color=none fill=lightblue group=diff;
//paint id=p pointer x=20 y=-41 alpha=180 length=25 thickness=5 color=blue group=diff;
//paint rect x=-25 y=-41 width=50 height=26 color=none fill=white group=diff;
groupstart id=thermo;
// Umriss
paint rect x=-1.3 y=-50 width=2.6 height=85;
// Null-Linie
paint line x=-1.3 y=-45 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-44 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-43 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-42 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-41 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-40 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-40 valign=middle value="40\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-39 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-38 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-37 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-36 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-35 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-34 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-33 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-32 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-31 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-30 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-30 valign=middle value="30\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-29 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-28 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-27 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-26 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-25 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-24 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-23 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-22 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-21 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-20 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-20 valign=middle value="20\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-19 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-18 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-17 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-16 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-15 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-14 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-13 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-12 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-11 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-10 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-10 valign=middle value="10\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-9 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-8 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-7 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-6 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-5 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-4 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-3 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-2 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-1 alpha=90 length=4;
paint line x=-5.7 y=0 alpha=90 length=11.4 thickness=8;
paint latex x=7 y=0 valign=middle value="0\circ\text{C}";
paint latex x=-7 y=0 valign=middle value="0\circ\text{C}" align=right;
groupstart id=thermonegativ;
paint line x=1.3 y=1 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=2 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=3 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=4 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=5 alpha=270 length=5.5;
paint line x=1.3 y=6 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=7 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=8 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=9 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=10 alpha=270 length=7;
paint latex x=-7 y=10 valign=middle value="-10\circ\text{C}" align=right;
paint line x=1.3 y=11 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=12 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=13 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=14 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=15 alpha=270 length=5.5;
paint line x=1.3 y=16 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=17 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=18 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=19 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=20 alpha=270 length=7;
paint latex x=-7 y=20 valign=middle value="-20\circ\text{C}" align=right;
paint line x=1.3 y=21 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=22 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=23 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=24 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=25 alpha=270 length=5.5;
groupend; // Gruppe thermonegativ
// Quecksilbersäule + Blende
paint rect x=-0.65 y=-50 width=1.3 height=83 color=black thickness=2 fill=white;
paint id=qs rect x=-0.55 y=-15 width=1.1 height=100 color=none fill=blue;
paint rect x=-5 y=35 width=10 height=10 color=none fill=white;
paint ellipse cx=0 cy=35 r=3 fill=blue xthickness=12;
groupend; // Gruppe thermo
delay=1000;
transform id=thermo rotate=90 mdy=-8 mdx=0 scale=1.5;
transform id=thermonegativ opacity=0;
delay=1000;
delay=2000;
write value="Am Nachmittag endet die Quecksilbersäule wieder beim 15. Strich vom Null-Strich aus.";
paint pointer x=0 y=-15 alpha=90 length=22.5 color=green thickness=4 fadein=west;
delay=5000;
transform id=qs my=25 transition=2s;
delay=3000;
paint pointer x=22.5 y=-12.8 alpha=270 length=37.5 color=red thickness=4 fadein=east transition=2s;
write clear value="Hoppla, wir müssen mehr Striche nach links zählen als im Zahlenstrahl vorhanden sind! Was nun?";
wait button="Von vorne!";
repeat;
Das Problem ist:
Wenn man eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert (hier: $15-25$),
kann das Ergebnis keine natürliche Zahl sein.
///
Aber was sonst?
Du ahnst es sicher schon:
Beim Thermometer ist nämlich schon ein zweiter Zahlenstrahl angebracht, der sich nach links öffnet.
Und an diesem Zahlenstrahl kannst du das Ergebnis ablesen:
set originy=41 originx=40;
// Differenzfeld + Pointer + Blende
//paint id=q rect x=0 y=-40.4 width=20 height=25.2 color=none fill=lightblue group=diff;
//paint id=p pointer x=20 y=-41 alpha=180 length=25 thickness=5 color=blue group=diff;
//paint rect x=-25 y=-41 width=50 height=26 color=none fill=white group=diff;
groupstart id=thermo;
// Umriss
paint rect x=-1.3 y=-50 width=2.6 height=85;
// Null-Linie
paint line x=-1.3 y=-45 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-44 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-43 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-42 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-41 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-40 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-40 valign=middle value="40\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-39 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-38 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-37 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-36 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-35 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-34 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-33 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-32 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-31 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-30 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-30 valign=middle value="30\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-29 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-28 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-27 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-26 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-25 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-24 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-23 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-22 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-21 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-20 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-20 valign=middle value="20\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-19 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-18 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-17 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-16 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-15 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-14 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-13 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-12 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-11 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-10 alpha=90 length=7;
paint latex x=7 y=-10 valign=middle value="10\circ\text{C}";
paint line x=-1.3 y=-9 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-8 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-7 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-6 alpha=90 length=4;
paint line x=-1.3 y=-5 alpha=90 length=5.5;
paint line x=-1.3 y=-4 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-3 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-2 alpha=90 length=4;paint line x=-1.3 y=-1 alpha=90 length=4;
paint line x=-5.7 y=0 alpha=90 length=11.4 thickness=8;
paint latex x=7 y=0 valign=middle value="0\circ\text{C}";
paint latex x=-7 y=0 valign=middle value="0\circ\text{C}" align=right;
groupstart id=thermonegativ;
paint line x=1.3 y=1 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=2 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=3 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=4 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=5 alpha=270 length=5.5;
paint line x=1.3 y=6 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=7 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=8 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=9 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=10 alpha=270 length=7;
paint latex x=-7 y=10 valign=middle value="-10\circ\text{C}" align=right;
paint line x=1.3 y=11 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=12 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=13 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=14 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=15 alpha=270 length=5.5;
paint line x=1.3 y=16 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=17 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=18 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=19 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=20 alpha=270 length=7;
paint latex x=-7 y=20 valign=middle value="-20\circ\text{C}" align=right;
paint line x=1.3 y=21 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=22 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=23 alpha=270 length=4;paint line x=1.3 y=24 alpha=270 length=4;
paint line x=1.3 y=25 alpha=270 length=5.5;
groupend; // Gruppe thermonegativ
// Quecksilbersäule + Blende
paint rect x=-0.65 y=-50 width=1.3 height=83 color=black thickness=2 fill=white;
paint id=qs rect x=-0.55 y=-15 width=1.1 height=100 color=none fill=blue;
paint rect x=-5 y=35 width=10 height=10 color=none fill=white;
paint ellipse cx=0 cy=35 r=3 fill=blue xthickness=12;
groupend; // Gruppe thermo
delay=1000;
transform id=thermo rotate=90 mdy=-8 mdx=0 scale=1.5;
delay=1000;
write clear value="Wir beginnen wieder beim 15. Strich auf dem rechten Zahlenstrahl.";
paint pointer x=0 y=-15 alpha=90 length=22.5 color=green thickness=4 fadein=west;
delay=5000;
transform id=qs my=25 transition=2s;
delay=3000;
write clear value="Zuerst zählen wir die 15 Striche bis zum Null-Strich herunter. Übrig bleiben $25-15=10$ Striche.";
delay=1000;
paint pointer x=22.5 y=-12.8 alpha=270 length=22.5 color=red thickness=4 fadein=east transition=2s;
delay=5000;
write clear value="Diese restlichen 10 Striche zählen wir dann auf dem linken Zahlenstrahl nach links.";
delay=1000;
paint pointer x=0 y=-12.8 alpha=270 length=15 color=red thickness=4 fadein=east transition=2s;
delay=8000;
write clear value="Auf dem linken Zahlenstrahl steht dort der Wert ,,$-10\gC$''. Das sprichst du so aus: ,,minus 10 Grad Celsius''.";
delay=2000;
write value="Als Rechnung: $15\gC-25\gC=-10\gC$, oder kurz: $15-25=-10$.";
wait button="Von vorne!";
repeat;
Diesen zweiten Zahlenstrahl kannst du dir als Spiegelung des Zahlenstrahls der natürlichen Zahlen am Nullstrich vorstellen:
set originx=39 originy=14;
groupstart id=line1;
paint line x=0 cy=0 alpha=90 length=50;
paint line cx=0 cy=0 alpha=0 length=5 thickness=7; paint line cx=2 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=4 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=6 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=8 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=10 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=12 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=14 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=16 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=18 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=20 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=22 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=24 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=26 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=28 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=30 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=32 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=34 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=36 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=38 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=40 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=42 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=44 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=46 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=48 cy=0 alpha=0 length=3;
groupstart id=line1numbers;
paint latex x=0 y=6 align=center value="0" size=0.9;
paint latex x=10 y=6 align=center value="5" size=0.9;
paint latex x=20 y=6 align=center value="10" size=0.9;
paint latex x=30 y=6 align=center value="15" size=0.9;
paint latex x=40 y=6 align=center value="20" size=0.9;
groupend;
groupend;
transform id=line1 origin="0 0";
delay=2000;
write value="Der Zahlenstrahl wird am Null-Strich gespiegelt.";
delay=2000;
groupstart id=line2;
paint line x=0 cy=0 alpha=90 length=50;
paint line cx=0 cy=0 alpha=0 length=5 thickness=7; paint line cx=2 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=4 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=6 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=8 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=10 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=12 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=14 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=16 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=18 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=20 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=22 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=24 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=26 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=28 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=30 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=32 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=34 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=36 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=38 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=40 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=42 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=44 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=46 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=48 cy=0 alpha=0 length=3;
groupstart id=line2numbers;
paint latex x=0 y=6 align=center value="0" size=0.9;
paint latex x=10 y=6 align=center value="5" size=0.9;
paint latex x=20 y=6 align=center value="10" size=0.9;
paint latex x=30 y=6 align=center value="15" size=0.9;
paint latex x=40 y=6 align=center value="20" size=0.9;
groupend;
groupend;
transform id=line1 scalex=-1;
delay=5000;
write clear value="Die Zahlen am linken Zahlenstrahl erhalten ein Minus-Zeichen als Vorzeichen.";
delay=2000;
transform id=line1numbers opacity=0;
groupstart id=line2numbers2;
paint latex x=-10 y=6 align=center value="\style[red]{-5}" opacin delay=0 size=0.9;
paint latex x=-20 y=6 align=center value="\style[red]{-10}" opacin delay=0 size=0.9;
paint latex x=-30 y=6 align=center value="\style[red]{-15}" opacin delay=0 size=0.9;
paint latex x=-40 y=6 align=center value="\style[red]{-20}" opacin delay=0 size=0.9;
groupend;
wait button="Von vorne!";
repeat;
Die Zahlen auf dem gespiegelten Zahlenstrahl links von der Null heißen negative Zahlen.
Die Zahlen rechts von der Null heißen positive Zahlen.
set originx=39 originy=8;
paint id=negrect rect x=-50 y=-20 width=50 height=50 color=none fill=red opacity=0.001;
paint id=posrect rect x=0 y=-20 width=50 height=50 color=none fill=black opacity=0.001;
paint line x=0 cy=0 alpha=90 length=50;
paint line cx=0 cy=0 alpha=0 length=5 thickness=7; paint line cx=2 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=4 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=6 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=8 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=10 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=12 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=14 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=16 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=18 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=20 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=22 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=24 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=26 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=28 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=30 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=32 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=34 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=36 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=38 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=40 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=42 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=44 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=46 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=48 cy=0 alpha=0 length=3;
paint latex x=0 y=6 align=center value="0" size=0.9;
paint latex x=10 y=6 align=center value="5" size=0.9;
paint latex x=20 y=6 align=center value="10" size=0.9;
paint latex x=30 y=6 align=center value="15" size=0.9;
paint latex x=40 y=6 align=center value="20" size=0.9;
paint line x=0 cy=0 alpha=270 length=50 color=red;
paint color=red line cx=-2 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-4 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-6 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-8 cy=0 alpha=0 length=3;
paint color=red line cx=-10 cy=0 alpha=0 length=4; paint color=red line cx=-12 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-14 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-16 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-18 cy=0 alpha=0 length=3;
paint color=red line cx=-20 cy=0 alpha=0 length=5; paint color=red line cx=-22 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-24 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-26 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-28 cy=0 alpha=0 length=3;
paint color=red line cx=-30 cy=0 alpha=0 length=4; paint color=red line cx=-32 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-34 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-36 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-38 cy=0 alpha=0 length=3;
paint color=red line cx=-40 cy=0 alpha=0 length=5; paint color=red line cx=-42 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-44 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-46 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-48 cy=0 alpha=0 length=3;
paint latex x=-10 y=6 align=center value="\style[red]{-5}" size=0.9;
paint latex x=-20 y=6 align=center value="\style[red]{-10}" size=0.9;
paint latex x=-30 y=6 align=center value="\style[red]{-15}" size=0.9;
paint latex x=-40 y=6 align=center value="\style[red]{-20}" size=0.9;
delay=2000;
transform id=negrect opacity=0.1 transition=1s;
paint text x=-20 y=12 align=center value="negative Zahlen" size=0.8 color=red opacin;
delay=2000;
transform id=posrect opacity=0.1 transition=1s;
paint text x=20 y=12 align=center value="positive Zahlen" size=0.8 opacin;
//delay=2000;
//paint arc x=0 y=19.8 alpha1=45 alpha2=-45 r=28.2 pointer color=green fadein=east;
//delay=500;
//paint text x=10 y=-7.5 value="Gegenzahl" size=0.8 color=green opacin;
Negative Zahlen sind kleiner als Null.
Positive Zahlen sind größer als Null.
///
Negative Zahlen werden mit einem Minus-Zeichen als Vorzeichen gekennzeichnet: ,,$-3$'', ,,$-10$'', ,,$-2000$''.
Das sprichst du so aus: ,,minus Drei'', ,,minus Zehn'', ,,minus Zweitausend''.
In Rechenausdrücken (,,Termen'') werden negative Zahlen oft eingeklammert,
um das Vorzeichen besser vom Minus-Operator zu unterscheiden:
,,$13+(-8)$'', ,,$(-2)\cdot(-8)$''.
Weil die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl Spiegelungen der positiven Zahlen sind, stehen immer zwei von ihnen in einer gegenseitigen Beziehung:
Jede positive Zahl hat genau eine negative Zahl als Gegenzahl.
Und umgekehrt.
Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
set originx=39 originy=15;
paint id=negrect rect x=-50 y=-20 width=50 height=50 color=none fill=red opacity=0.001;
paint id=posrect rect x=0 y=-20 width=50 height=50 color=none fill=black opacity=0.001;
paint line x=0 cy=0 alpha=90 length=50;
paint line cx=0 cy=0 alpha=0 length=5 thickness=7; paint line cx=2 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=4 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=6 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=8 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=10 cy=0 alpha=0 length=4; paint line cx=12 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=14 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=16 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=18 cy=0 alpha=0 length=3;
paint line cx=20 cy=0 alpha=0 length=5; paint line cx=22 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=24 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=26 cy=0 alpha=0 length=3; paint line cx=28 cy=0 alpha=0 length=3;
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paint latex x=0 y=6 align=center value="0" size=0.9;
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paint line x=0 cy=0 alpha=270 length=50 color=red;
paint color=red line cx=-2 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-4 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-6 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-8 cy=0 alpha=0 length=3;
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paint color=red line cx=-40 cy=0 alpha=0 length=5; paint color=red line cx=-42 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-44 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-46 cy=0 alpha=0 length=3; paint color=red line cx=-48 cy=0 alpha=0 length=3;
paint latex x=-10 y=6 align=center value="\style[red]{-5}" size=0.9;
paint latex x=-20 y=6 align=center value="\style[red]{-10}" size=0.9;
paint latex x=-30 y=6 align=center value="\style[red]{-15}" size=0.9;
paint latex x=-40 y=6 align=center value="\style[red]{-20}" size=0.9;
delay=2000;
paint arc x=0 y=19.8 alpha1=45 alpha2=-45 r=28.2 pointer color=green fadein=east;
delay=500;
paint text x=10 y=-7.5 value="Gegenzahl" size=0.8 color=green opacin;
Beispiele:
Die Gegenzahl von $3$ ist $-3$, die Gegenzahl von $10$ ist $-10$, die Gegenzahl von $-1000$ ist $1000$.
Die Null hat keine Gegenzahl.
Auch die natürlichen Zahlen haben Gegenzahlen. Zusammen (und mit der Null) bilden sie eine neue Zahlenmenge:
Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den natürlichen Zahlen, ihren Gegenzahlen und der Null.
set originy=31;
paint id=e3 ellipse cx=40 cy=0 rx=39 ry=23 fill=green opacity=0.001;
paint latex value="0" align=center x=38 y=-15 opacin;
set originx=22;
paint ellipse cx=0 cy=0 rx=17 ry=16 fill=white fadein=west delay=0;
paint id=e2 ellipse cx=0 cy=0 rx=17 ry=16 fill=black opacity=0.001 delay=10;
transform id=e2 opacity=0.1;
paint text align=center value="natürliche Zahlen" x=-5 y=27 size=0.8 fadein=west;
paint pointer x=-5 y=24 x2=-2 y2=16 fadein=south;
paint latex value="1" align=center x=-10 y=-4 opacin;
paint latex value="2" align=center x=-2 y=13 opacin;
paint latex value="3" align=center x=8 y=7 opacin;
paint latex value="4" align=center x=-2 y=1 opacin;
paint latex value="5" align=center x=5 y=-8 opacin;
paint latex value="..." align=center x=-10 y=5 opacin;
set originx=58;
paint ellipse cx=0 cy=0 rx=17 ry=16 fill=white fadein=west delay=0;
paint id=e1 ellipse cx=0 cy=0 rx=17 ry=16 fill=red opacity=0.001 delay=10;
transform id=e1 opacity=0.1;
paint text align=center value="ihre Gegenzahlen" x=5 y=27 size=0.8 fadein=west;
paint pointer x=5 y=24 x2=2 y2=16 fadein=south;
paint latex value="-1" align=center x=10 y=-4 opacin;
paint latex value="-2" align=center x=2 y=13 opacin;
paint latex value="-3" align=center x=-8 y=7 opacin;
paint latex value="-4" align=center x=2 y=1 opacin;
paint latex value="-5" align=center x=-5 y=-8 opacin;
paint latex value="..." align=center x=10 y=5 opacin;
set originx=0;
paint ellipse cx=40 cy=0 rx=39 ry=23 fadein=west;
transform id=e3 opacity=0.1;
paint text align=center value="Ganze Zahlen" x=20 y=-26 size=0.8 fadein=west;
paint pointer x=20 y=-25 x2=22 y2=-21 fadein=north;
Das Zeichen für die Menge der ganzen Zahlen ist $\Z$, also ein ,,Z'' mit verdoppeltem Schrägstrich.
set originx=15 originy=15;
paint line x=-10 y=-10 x2=6 y2=-10 thickness=10 pencil keep;
paint line x=6 y=-10 x2=-10 y2=10 thickness=10 pencil keep;
paint line x=-10 y=10 x2=10 y2=10 thickness=10 pencil keep;
paint line x=6 y=-10 x2=10 y2=-10 thickness=10 pencil keep;
paint line x=10 y=-10 x2=-6 y2=10 thickness=10 pencil;
wait button="Von vorne!";
repeat;
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;
;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Jede natürliche Zahl hat eine negative Gegenzahl." correct;
text="Die Null hat eine negative Gegenzahl.";
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind ganze Zahlen" correct;
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind natürliche Zahlen";
text="Der Zahlenstrahl mit den ganzen Zahlen geht links und rechts immer weiter." correct;
text="Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl mit ganzen Zahlen." correct;
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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Wenn du deinen Lernplan gespeichert hast, hast du ebenfalls einen Lerncode bekommen.
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Für Lehrerinnen und Lehrer
Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!
Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen
aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen
Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken,
Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.
Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.
Ihre Lernthemen-Auswahl:
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Wählen Sie mindestens ein Lernthema aus!
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Wir empfehlen, hier Ihre eigene E-Mail-Adresse anzugeben und die
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
D-22763 Hamburg
Tel. +49 40 22854429
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Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
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