Was ist „Mathe? KLARO!“?

Parallelen

Hier lernst du: was Parallelen sind, welche Eigenschaften Parallelen haben und wie sich das auf Strecken und Halbgeraden übertragen lässt.

Parallelen

Nehmen wir mal an, die Eisenbahnstrecke ginge immer weiter geradeaus, unendlich weit (und die Erde sei flach).
Wo begegnen sich die beiden Schienen?

"Natürlich nirgendwo und niemals! Der Abstand der beiden Schienen bleibt immer gleich."

Genau! Denn sie verlaufen "parallel".

• was Parallelen sind,
• welche Eigenschaften Parallelen haben und
• wie sich das auf Strecken und Halbgeraden übertragen lässt.

Sieh dir die Animation an:

1. Wir zeichnen eine Gerade. 2. Wir zeichnen zwei (unterschiedliche) Senkrechten zur Geraden. Die Frage ist: Kreuzen sich diese beiden Senkrechten irgendwo?

Nehmen wir mal an, die beiden Senkrechten würden sich irgendwo kreuzen. Wir nennen den Schnittpunkt Punkt P.
Irgendwo muss der Punkt P liegen. Zeichnen wir ihn also einfach mal irgendwo hin:

Zeichnen wir eine Senkrechte ein, die durch P läuft. Um eine andere Senkrechte zu zeichnen, müssen wir das Geodreieck verschieben. Aber: Wenn wir mit dieser Lage des Geodreiecks die Senkrechte einzeichnen, verläuft sie nicht mehr durch den Punkt P! Probieren wir es mit anderen Positionen des Geodreiecks. Egal, wohin wir das Geodreieck schieben: Die Senkrechte verläuft nicht mehr durch den Punkt P. Nur wenn wir das Geodreieck genau auf die erste Senkrechte schieben, können wir wieder eine Senkrechte durch P zeichnen.

Du hast gemerkt: Du kannst keine zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden zeichnen, die durch denselben Punkt gehen.

"Und wenn dieser Punkt sehr viel weiter von der Geraden entfernt wäre?"

Auch dann nicht. Stelle dir einfach vor, du nimmst dann eben ein riesiges Geodreieck. Das Ergebnis wäre dasselbe.

Zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden haben also keinen gemeinsamen Punkt. Das macht sie zu etwas Besonderem. Und wie so oft bekommen sie daher einen eigenen Namen: Parallelen. Parallelen sind zwei (oder mehr) Geraden, die entweder keinen gemeinsamen Punkt haben (die sich also nirgendwo kreuzen, auch nicht in noch so großer Entfernung) oder die identisch sind.
Man sagt dann auch: Die Geraden sind parallel.

Dass zwei Geraden parallel sind, schreibst du mit den Bezeichnungen der Geraden und zwei senkrechten Strichen dazwischen:a \parallel b
Wenn du schreiben willst, dass zwei Geraden nicht parallel sind, streichst du die beiden senkrechten Striche durch:b \nparallel c

Parallelen haben einige interessante Eigenschaften:

1. Zwei parallele Geraden haben gemeinsame Senkrechten.
   Für die Parallelen g und h gilt also:
   Wenn s eine Senkrechte zu g ist, dann ist s auch eine Senkrechte zu h, oder kurz: Wenn s \perp g, dann auch s \perp h.

2. Wenn eine Gerade zu zwei anderen Geraden parallel ist, sind diese auch untereinander parallel.
   Wenn also a \parallel b und a \parallel c, dann ist auch b \parallel c:

"Können denn auch Strecken und Halbgeraden parallel sein? Nämlich dann, wenn sie sich nicht kreuzen?"

Ja und nein.

Um parallel zu sein, reicht es bei Strecken und Halbgeraden nicht, dass sie sich nicht kreuzen.
Es kommt darauf an, ob die Geraden parallel sind, auf denen die Strecken und Halbgeraden liegen.

Zwei Strecken oder Halbgeraden (oder Geraden) sind parallel, wenn die Geraden, auf denen sie liegen, parallel sind. Die beiden Strecken a und b haben keinen gemeinsamen Punkt:

Wenn man sie aber zu Geraden verlängert, kreuzen sich diese Geraden.
Also sind die Geraden nicht parallel, und damit sind auch beide Strecken nicht parallel: a \nparallel b.

Parallele Strecken und Kanten gibt es sehr oft in der "Realität":

Die gegenüberliegenden Seiten eines Papierblatts sind meist parallel, ebenso Tischkanten, Regalbretter, die Kanten von Fließen usw.
Überall da, wo es rechte Winkel gibt, gibt es meist auch Parallelen.
Sieh dich einfach mal um!

Parallelen

///Nehmen wir mal an, die Eisenbahnstrecke ginge immer weiter geradeaus, unendlich weit (und die Erde sei flach). ///Wo begegnen sich die beiden Schienen?

,,Natürlich nirgendwo und niemals! Der Abstand der beiden Schienen bleibt immer gleich.''

///Genau! Denn sie verlaufen ,,parallel''.

• was Parallelen sind,
• welche Eigenschaften Parallelen haben und
• wie sich das auf Strecken und Halbgeraden übertragen lässt.

;;; ;;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Eine Gerade ist unendlich lang." correct; text="Durch einen Punkt geht genau eine Gerade."; text="Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade." correct; text="Eine Strecke ist ein Ausschnitt aus einer Geraden." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welcher Winkel ist abgebildet? setorigin x=40 y=35; paint cross x=0 y=0; paint line x=0 y=0 length=30 alpha=60; paint id=li line x=0 y=0 length=30 alpha=60 delay=100; transform id=li rotate=-90 transition=1s delay=1100; paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=60 alpha2=-30 r=8 fill=lightgreen angcaption=.; paint cross x=0 y=0; Spitzer Winkel Rechter Winkel
Stumpfer Winkel Überstumpfer Winkel #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Alle Punkte auf jeder Senkrechten zu einer Strecke sind von den Endpunkten dieser Strecke gleich weit entfernt."; text="Eine Senkrechte zu einer Strecke schneidet diese Strecke im rechten Winkel." correct; text="Eine Senkrechte ist eine Gerade." correct; text="Zu einer Strecke gibt es genau eine Senkrechte."; $_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text; Sieh dir die Animation an: setorigin x=30 y=20 rotate=5; write value="1. Wir zeichnen eine Gerade."; paint line x=-20 y=0 x2=40 y2=0 ruler caption=g:10; wait delay=8000; write clear value="2. Wir zeichnen zwei (unterschiedliche) Senkrechten zur Geraden."; paint triangle x=0 y=0 rotate=185 flyin; paint line x=0 y=-17 x2=0 y2=17 pencil caption=a:5; transform id=triangle mdx=20 delay=1100; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=.; paint line x=20 y=-18 x2=20 y2=16 pencil caption=b:5; delete triangle flyout; paint arc x=20 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=.; wait delay=8000; write clear value="Die Frage ist: Kreuzen sich diese beiden Senkrechten irgendwo?"; wait delay=8000 button="Alles anzeigen!"; write all; Nehmen wir mal an, die beiden Senkrechten würden sich irgendwo kreuzen. Wir nennen den Schnittpunkt Punkt $P$. ///Irgendwo muss der Punkt $P$ liegen. Zeichnen wir ihn also einfach mal irgendwo hin: setorigin x=40 y=65 rotate=5; paint line x=-30 y=0 x2=30 y2=0 caption=g:10; paint cross x=0 y=-45 caption=P:-45; write="Zeichnen wir eine Senkrechte ein, die durch $P$ läuft."; paint triangle x=0 y=0 mx=10 rotate=185 flyin; transform triangle mx=0 delay=1100; paint line x=0 y=-60 x2=0 y2=10 pencil caption=a:5; wait delay=10000; write clear value="Um eine andere Senkrechte zu zeichnen, müssen wir das Geodreieck verschieben."; transform triangle mx=7 transition=1s delay=2000; paint line x=7 y=-61 x2=7 y2=9 pencil color=grey; wait delay=10000; write clear value="Aber: Wenn wir mit dieser Lage des Geodreiecks die Senkrechte einzeichnen, verläuft sie nicht mehr durch den Punkt $P$!"; wait delay=8000; write clear value="Probieren wir es mit anderen Positionen des Geodreiecks."; delay=2000; transform triangle mx=-18 transition=1s delay=1100; paint line x=-18 y=-58 x2=-18 y2=12 pencil color=grey; transform triangle mx=13 transition=1s delay=1100; paint line x=13 y=-59 x2=13 y2=11 pencil color=grey delay=2000; transform triangle mx=-5 transition=1s delay=1100; paint line x=-5 y=-62 x2=-5 y2=8 pencil color=grey delay=2000; wait delay=10000; write clear value="Egal, wohin wir das Geodreieck schieben: Die Senkrechte verläuft nicht mehr durch den Punkt $P$."; wait delay=10000; write clear value="Nur wenn wir das Geodreieck genau auf die erste Senkrechte schieben, können wir wieder eine Senkrechte durch $P$ zeichnen."; transform triangle mx=0 transition=1s delay=2000; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button; Du hast gemerkt: Du kannst keine zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden zeichnen, die durch denselben Punkt gehen.

,,Und wenn dieser Punkt sehr viel weiter von der Geraden entfernt wäre?''

///Auch dann nicht. Stelle dir einfach vor, du nimmst dann eben ein riesiges Geodreieck. Das Ergebnis wäre dasselbe. Zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden haben also keinen gemeinsamen Punkt. Das macht sie zu etwas Besonderem. Und wie so oft bekommen sie daher einen eigenen Namen: Parallelen. Parallelen sind zwei (oder mehr) Geraden, die entweder keinen gemeinsamen Punkt haben (die sich also nirgendwo kreuzen, auch nicht in noch so großer Entfernung) oder die identisch sind. ///Man sagt dann auch: Die Geraden sind parallel. setorigin x=10 y=8 alpha=3; paint line x=0 y=0 x2=60 y2=0 caption=a:-10; paint line x=0 y=10 x2=60 y2=10 caption=b:-10; paint latex x=25 y=6.5 value="a\parallel b"; paint line x=5 y=25 x2=60 y2=7 caption=c:-10; paint latex x=30 y=22 value="b \nparallel c"; Dass zwei Geraden parallel sind, schreibst du mit den Bezeichnungen der Geraden und zwei senkrechten Strichen dazwischen: $a \parallel b$ ///Wenn du schreiben willst, dass zwei Geraden nicht parallel sind, streichst du die beiden senkrechten Striche durch: $b \nparallel c$ Parallelen haben einige interessante Eigenschaften:

1. Zwei parallele Geraden haben gemeinsame Senkrechten. setorigin rotate=-3; paint line x=10 y=13 x2=70 y2=13 caption=g:-10; paint line x=10 y=28 x2=70 y2=28 caption=h:-10; paint triangle x=40 y=13 rotate=-3 flyin; paint line x=40 y=5 x2=40 y2=32 pencil caption=s; paint arc x=40 y=13 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fadein=north; delay=1000; transform triangle my=15 delay=1500; paint arc x=40 y=28 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fadein=north; delete triangle flyout; repeat button; Für die Parallelen $g$ und $h$ gilt also:
   Wenn $s$ eine Senkrechte zu $g$ ist, dann ist $s$ auch eine Senkrechte zu $h$, oder kurz: Wenn $s \perp g$, dann auch $s \perp h$.

2. Wenn eine Gerade zu zwei anderen Geraden parallel ist, sind diese auch untereinander parallel. setorigin rotate=1; paint line x=10 y=10 x2=70 y2=10 caption=b:-10; paint line x=10 y=20 x2=70 y2=20 caption=a:-10; paint line x=10 y=30 x2=70 y2=30 caption=c:-10; paint triangle x=30 y=20 flyin rotate=1; paint line x=30 y=3 x2=30 y2=22 pencil color=green; paint arc x=30 y=20 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=green angcaption=. fadein=west; transform triangle mdy=-10 transition=1s delay=1100; paint arc x=30 y=10 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=green angcaption=. fadein=west; transform triangle mdx=15 mdy=10 transition=1s delay=1500; paint line x=45 y=13 x2=45 y2=32 pencil color=blue; paint arc x=45 y=20 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=blue angcaption=. fadein=west; transform triangle mdy=10 transition=1s delay=1100; paint arc x=45 y=30 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=blue angcaption=. fadein=west; transform triangle mdx=15 mdy=-20 transition=1s delay=1500; paint line x=60 y=3 x2=60 y2=32 pencil color=red; paint arc x=60 y=10 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=red angcaption=. fadein=west; transform triangle mdy=20 transition=1s delay=1100; paint arc x=60 y=30 alpha1=90 alpha2=0 r=5 color=red angcaption=. fadein=west; delete triangle flyout; repeat button; Wenn also $\style[green]{a \parallel b}$ und $\style[blue]{a \parallel c}$, dann ist auch $\style[red]{b \parallel c}$:

,,Können denn auch Strecken und Halbgeraden parallel sein? Nämlich dann, wenn sie sich nicht kreuzen?''

///Ja und nein. Um parallel zu sein, reicht es bei Strecken und Halbgeraden nicht, dass sie sich nicht kreuzen. ///Es kommt darauf an, ob die Geraden parallel sind, auf denen die Strecken und Halbgeraden liegen. Zwei Strecken oder Halbgeraden (oder Geraden) sind parallel, wenn die Geraden, auf denen sie liegen, parallel sind. Die beiden Strecken $a$ und $b$ haben keinen gemeinsamen Punkt: setorigin x=10 y=10 alpha=-2; paint cross x=0 y=0; paint cross x=30 y=0; paint line x=0 y=0 x2=30 y2=0 caption=a:-20; setorigin x=15 y=30 alpha=-25; paint cross x=0 y=0; paint cross x=30 y=0; paint line x=0 y=0 x2=30 y2=0 caption=b:20; delay=1000; setorigin x=10 y=10 alpha=-2; paint ruler x=0 y=0 mdx=-20 rotate=88 flyin; paint line x=0 y=0 alpha=-90 length=20 color=grey fadein=east pencil keep; paint line x=30 y=0 alpha=90 length=45 color=grey fadein=west pencil; delete ruler flyout; setorigin x=15 y=30 alpha=-25; paint ruler x=0 y=0 mdx=-20 rotate=65 flyin; paint line x=0 y=0 alpha=-90 length=20 color=grey fadein=east pencil keep; paint line x=30 y=0 alpha=90 length=45 color=grey fadein=west pencil; delete ruler flyout; paint cross x=52 y=0 pencil caption=S rotate=25; repeat button; Wenn man sie aber zu Geraden verlängert, kreuzen sich diese Geraden. ///Also sind die Geraden nicht parallel, und damit sind auch beide Strecken nicht parallel: $a \nparallel b$. Parallele Strecken und Kanten gibt es sehr oft in der ,,Realität'': setorigin x=0 y=0 alpha=0; paint image cx=50 cy=35 href="pics/parallele_parkett.jpg" width=80 height=60 delay=2000 origin="50 35" rotate=1 flyin=east; setorigin x=0 y=0 alpha=1; paint id=line1 line x=45 y=55 length=40 alpha=0 fadein=south; paint id=line2 line x=58 y=55 length=40 alpha=0 fadein=south; paint id=line3 line x=40 y=50 length=25 alpha=90 fadein=west; paint arcsegment x=45 y=50 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; paint arcsegment x=58 y=50 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; delay=4000; setorigin x=0 y=0 alpha=0; paint image cx=50 cy=35 href="pics/parallele_lampe.jpg" width=80 height=60 delay=2000 origin="50 35" rotate=-1 flyin=east; setorigin x=-0.3 y=0 alpha=-35; paint id=line1 line x=37 y=65 alpha=0 length=22 fadein=south; paint id=line1 line x=38.8 y=65 alpha=0 length=22 fadein=south; paint id=line1 line x=28 y=60 alpha=90 length=20 fadein=south; paint arcsegment x=37 y=60 alpha2=-90 alpha1=0 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; paint arcsegment x=38.8 y=60 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; delay=4000; setorigin x=0 y=0 alpha=0; paint image cx=50 cy=35 href="pics/parallele_fliessen.jpg" width=80 height=60 delay=2000 origin="50 35" rotate=1 flyin=east; setorigin x=0 y=0 alpha=1; paint id=line1 line x=31 y=55 length=40 alpha=0 fadein=south; paint id=line2 line x=69.5 y=55 length=40 alpha=0 fadein=south; paint id=line3 line x=27 y=50 length=50 alpha=90 fadein=west; paint arcsegment x=31 y=50 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; paint arcsegment x=69.5 y=50 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west; delay=4000; repeat; Die gegenüberliegenden Seiten eines Papierblatts sind meist parallel, ebenso Tischkanten, Regalbretter, die Kanten von Fließen usw. ///Überall da, wo es rechte Winkel gibt, gibt es meist auch Parallelen. ///Sieh dich einfach mal um! $_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;; ;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welche Aussagen passen zur Zeichnung? setorigin alpha=2; paint line x=10 y=10 length=60 alpha=90 caption=a:-5; paint line x=8 y=25 length=60 alpha=90 caption=b:-5; paint line x=20 y=3 length=30 alpha=180 caption=d:95; paint line x=30 y=35 length=45 alpha=70 caption=c:15; paint arc x=20 y=25 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=.; paint arc x=20 y=10 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=.; Die Geraden $a$ und $b$ sind parallel.
Die Geraden $a$ und $c$ sind parallel.
Die Gerade $d$ ist eine Senkrechte zu $a$.
Die Gerade $d$ ist eine Senkrechte zu $b$.
Die Gerade $d$ ist eine Senkrechte zu $c$. #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Zwei Parallelen haben keine gemeinsamen Punkte."; text="Parallele Geraden sind entweder identisch oder sie haben keine gemeinsamen Punkte." correct; text="Zwei Parallelen haben gemeinsame Senkrechten." correct; text="Parallelen kreuzen sich senkrecht.";

Mit „Mathe? KLARO!“ können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

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