Hier lernst du: was Primzahlen sind, wie du Primzahlen findest , und alle Primzahlen bis 20 .
Primzahlen
Wie viele Teiler hat eine natürliche Zahl?
Leider lässt sich das nicht so einfach sagen. Das musst du bei jeder einzelnen Zahl durch Rechnen herausfinden.
Dabei stellst du fest, dass es einige (sogar unendlich viele) ganz besondere natürliche Zahlen gibt: nämlich solche mit genau zwei Teilern.
was Primzahlen sind,
wie du Primzahlen findest, und
alle Primzahlen bis 20.
Auf wie viele Kinder kannst du 8 Lollis so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele bekommt? Probieren wir's aus!
Natürlich kannst du alle Lollis selbst nehmen. Dann hättest du sie auf 1 Kind "aufgeteilt". Du hättest dann 8 Lollis. Oder du teilst sie mit einer Freundin oder einem Freund. Dann hättest du sie auf 2 Kinder aufgeteilt. Ihr beide hättet dann jeweils 4 Lollis. Oder du teilst sie auf drei Kinder auf. Oh, 8 Lollis lassen sich nicht auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele Lollis bekommt! Aber kannst du sie auf vier Kinder aufteilen? Kein Problem, jedes Kind bekommt 2 Lollis. Und kannst du die Lollis auf fünf Kinder aufteilen? Geht nicht, es bleiben 3 Lollis übrig. Ähnliches passiert bei 6 und 7 Kindern: Bei 6 Kindern bleiben 2 Lollis übrig, bei 7 Kindern ein Lolli. Aber auf 8 Kinder kannst du die 8 Lollis natürlich problemlos aufteilen. Jedes Kind erhält dann einen Lolli.
Und wie ist das bei 7 Lollis?
Natürlich kannst du alle Lollis selbst nehmen. Dann hättest du sie auf 1 Kind "aufgeteilt". Du hast dann alle 7 Lollis. Oder du teilst sie mit einer Freundin oder einem Freund. Dann hättest du sie auf 2 Kinder aufgeteilt. Geht leider nicht. Ein Lolli bleibt übrig. Kannst du sie auf drei Kinder aufteilen? Auch nicht, wieder bleibt 1 Lolli übrig. Und auf vier Kinder? Jetzt bleiben sogar 3 Lollis übrig. Ähnliches passiert bei 5 und 6 Kindern: Bei 5 Kindern bleiben 2 Lollis übrig, bei 6 Kindern ein Lolli. Aber auf 7 Kinder kannst du die 7 Lollis natürlich wieder aufteilen. Jedes Kind erhält dann einen Lolli.
8 Lollis kannst du also vollständig auf 1, 2, 4 und 8 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele Lollis bekommt.
Bei 7 Lollis geht das nur mit einem Kind und mit 7 Kindern.
Du weißt: Die Anzahl der Lollis und die Anzahl der Kinder sind natürliche Zahlen. Also kannst du das, was wir eben festgestellt haben, auch "auf Mathematisch" sagen:
1, 2, 4 und 8 sind Teiler von 8.
1 und 7 sind Teiler von 7.
Natürliche Zahlen können also unterschiedlich viele Teiler haben.
Überlege: Kann eine natürliche Zahl auch weniger als zwei Teiler haben?
Jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, hat mindestens zwei Teiler: die 1 und die Zahl selbst.
Warum die Einschränkung "die größer ist als 1"?
Weil bei der 1 "die Zahl selbst" natürlich 1 ist. Die 1 hat also nur einen Teiler: die 1.
Zahlen mit genau zwei Teilern sind etwas ganz Besonderes. Daher bekommen sie auch einen eigenen Namen:
Natürliche Zahlen mit genau zwei unterschiedlichen Teilern heißen Primzahlen. Die einzigen Teiler sind die 1 und die Primzahl selbst.
Eine Primzahl hast du schon kennengelernt: 7.
Weitere Primzahlen kannst du mit dem Sieb des Eratosthenes herausfinden:
Schreibe alle Zahlen von 1 bis 100 als Quadrat auf. Streiche die 1 durch, denn die 1 hat nur einen Teiler und ist damit keine Primzahl. Kreise die 2 ein __ das ist die kleinste Primzahl. Streiche nun jede 2. Zahl durch. Alle eben durchgestrichen Zahlen haben als Teiler die 2 und sind damit keine Primzahlen. Gehe wieder nach oben und kreise die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 3. Streiche von dort nun jede 3. Zahl durch __ also alle Zahlen mit 3 als Teiler. (Die durchgestrichenen Zahlen zählst du mit.) Gehe wieder nach oben und kreise wieder die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 5. Streiche von dort nun jede 5. Zahl durch __ also alle Zahlen, die als Teiler die 5 haben. Wiederhole das mit der nächsten, nicht durchgestrichenen Zahl: der 7. Wenn du das Verfahren mit allen Zahlen der ersten Zeile des Zahlenquadrats ausgeführt hast, bist du fertig. Alle nicht durchgestrichenen (und hier eingekreisten) Zahlen sind Primzahlen, denn sie haben keine der kleineren Primzahlen als Teiler.
(Das Verfahren ist nach dem Gelehrten Eratosthenes benannt, der vor über 2200 Jahren in Griechenland und Ägypten gelebt hat.)
Mit dem Sieb des Eratosthenes kannst du alle Primzahlen finden, die kleiner als eine beliebig hohe Zahl sind. Du musst dazu nur noch mehr Zahlen in einem Quadrat aufschreiben und für alle Zahlen der ersten Reihe den Sieb anwenden.
Das ist bei wirklich großen Zahlen natürlich sehr mühsam.
Wie kannst du sonst noch Primzahlen finden?
Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, gehe so vor:
Versuche, ob sich die Zahl jeweils durch 2, 3, 5, 7 und alle weiteren Primzahlen, die mit sich selbst multipliziert kleiner sind als die Zahl, ohne Rest teilen lässt.
Ist dies mit keiner Primzahl möglich, dann ist die Zahl eine Primzahl.
Ist dies mit mindestens einer Primzahl möglich, dann ist die Primzahl ein Teiler der Zahl. Also ist die Zahl dann keine Primzahl.
Aufgabe: Untersuche, ob die Zahlen 113 und 371 Primzahlen sind.
Untersuche die Zahl 113. Die erste Primzahl ist 2. 2⋅2=4 ist kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 2 zu teilen. Das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 3. 3⋅3=9 ist auch noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 3 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 5. 5⋅5=25 ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 5 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 7. 7⋅7=49 ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 7 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 11. 11⋅11=121 ist größer als 113. 11 kann damit kein Teiler von 113 sein und auch alle größeren Primzahlen nicht. 113 hat also keine Primzahl als Teiler, die kleiner ist als 11. Also ist die 113 eine Primzahl. Untersuche nun die Zahl 371. Die erste Primzahl ist 2. 2⋅2=4 ist kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 2 zu teilen. Das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 3. 3⋅3=9 ist auch noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 3 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 5. 5⋅5=25 ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 5 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 7. 7⋅7=49 ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 7 zu teilen. Das ist ohne Rest möglich. 7 ist damit ein Teiler von 371. Also ist 371 keine Primzahl.
Die Teilbarkeitsregeln machen dir zumindest den Anfang der Prüfung etwas einfacher:
Für alle Zahlen (die größer als 5 sind) gilt:
Ist ihre letzte Ziffer gerade oder 5, ist die Zahl mindestens durch 2 oder 5 teilbar, also keine Primzahl.
Ist ihre Quersumme durch 3 teilbar, ist auch die Zahl durch 3 teilbar, also keine Primzahl.
Leider nein. Bei richtig großen Zahlen schaffen das nicht einmal mehr die schnellsten Computer!
Damit du für die Prüfung die Zahl auch wirklich nur durch Primzahlen teilst und keine Primzahl beim Teilen vergisst, ist es gut, möglichst viele von ihnen auswendig zu wissen.
Zumindest alle, die kleiner sind als 20. Lerne also auswendig:
Primzahlen
Wie viele Teiler hat eine natürliche Zahl?
///
Leider lässt sich das nicht so einfach sagen.
Das musst du bei jeder einzelnen Zahl durch Rechnen herausfinden.
Dabei stellst du fest, dass es einige (sogar unendlich viele) ganz besondere natürliche Zahlen gibt:
nämlich solche mit genau zwei Teilern.
Sind die Aussagen richtig oder falsch?
///
Zwei natürliche Zahlen ...
text="... sind jeweils Teiler ihrer Summe.";
text="... sind jeweils Teiler ihres Produkts." correct;
text="... sind immer Teiler voneinander.";
text="... haben beide immer die 1 als Teiler." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Ergänze die Aussagen. Oft sind auch mehrere Antworten möglich:
///
20
$\mid$
15
$\nmid$
17
$\mid$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Durch welche dieser Zahlen lässt sich 2115 teilen? Löse ohne zu dividieren!
23510#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Durch welche dieser Zahlen lässt sich 11110 teilen? Löse ohne zu dividieren!
23510#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Natürliche Zahlen können also unterschiedlich viele Teiler haben.
///
Überlege: Kann eine natürliche Zahl auch weniger als zwei Teiler haben?
Jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, hat mindestens zwei Teiler: die 1 und die Zahl selbst.
Warum die Einschränkung ,,die größer ist als 1''?
///Weil bei der 1 ,,die Zahl selbst'' natürlich 1 ist.
Die 1 hat also nur einen Teiler: die 1.
Zahlen mit genau zwei Teilern sind etwas ganz Besonderes.
Daher bekommen sie auch einen eigenen Namen:
Natürliche Zahlen mit genau zwei unterschiedlichen Teilern heißen Primzahlen.
Die einzigen Teiler sind die 1 und die Primzahl selbst.
Eine Primzahl hast du schon kennengelernt: 7.
Weitere Primzahlen kannst du mit dem Sieb des Eratosthenes herausfinden:
//set animate=false;
//paint pencil x=100 y=100;
//paint quadpaper;
paint gridtext x=0 y=4.5 size=0.6 value="123456789";
paint gridtext x=44.2 y=4.5 size=0.6 value="1";
paint gridtext x=45.8 y=4.5 size=0.6 value="0";
paint gridtext x=0.8 y=9.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=9.5 size=0.6 value="1111111112";
paint gridtext x=0.8 y=14.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=14.5 size=0.6 value="2222222223";
paint gridtext x=0.8 y=19.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=19.5 size=0.6 value="3333333334";
paint gridtext x=0.8 y=24.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=24.5 size=0.6 value="4444444445";
paint gridtext x=0.8 y=29.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=29.5 size=0.6 value="5555555556";
paint gridtext x=0.8 y=34.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=34.5 size=0.6 value="6666666667";
paint gridtext x=0.8 y=39.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=39.5 size=0.6 value="7777777778";
paint gridtext x=0.8 y=44.5 size=0.6 value="1234567890";
paint gridtext x=-0.8 y=44.5 size=0.6 value="8888888889";
paint gridtext x=0.8 y=49.5 size=0.6 value="123456789";
paint gridtext x=-0.8 y=49.5 size=0.6 value="999999999";
paint gridtext x=43.6 y=49.5 size=0.6 value="1";
paint gridtext x=44.9 y=49.5 size=0.6 value="0";
paint gridtext x=46.4 y=49.5 size=0.6 value="0";
paint id=r1 rect x=0 y=0 width=50 height=50 color=none fill=white;
paint id=r2 rect x=0 y=5 width=50 height=50 color=none fill=white;
paint id=quad quadpaper;
// Zahlen auflisten
write value="Schreibe alle Zahlen von 1 bis 100 als Quadrat auf." delay=1000;
transform id=r1 mx=50 transition=1s; delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
wait delay=3000;
set originx=-2.5 originy=-2.5;
// 1 durchstreichen
write clear value="Streiche die 1 durch, denn die 1 hat nur einen Teiler und ist damit keine Primzahl." delay=1000;
paint line cx=5 cy=5 alpha=45 length=4 pencil; // 1
wait delay=5000;
write clear value="Kreise die 2 ein __ das ist die kleinste Primzahl." delay=2000;
paint pencil x=3.5 y=6.5 color=red mdx=60 mdy=60 delay=50;
transform pencil mx=0 my=0 mdx=7.5 mdy=0 delay=1100;
paint ellipse color=red x=10 y=5 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
wait delay=5000;
write clear value="Streiche nun jede 2. Zahl durch.";
paint line cx=20 cy=5 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 4
paint line cx=30 cy=5 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 6
paint line cx=40 cy=5 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 8
paint line cx=50 cy=5 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 10
paint line cx=10 cy=10 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 12
paint line cx=20 cy=10 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 14
paint line cx=30 cy=10 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 16
paint line cx=40 cy=10 alpha=45 length=4 color=red pencil keep; // 18
paint line cx=50 cy=10 alpha=45 length=4 color=red pencil; // 20
paint line cx=10 cy=15 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 22
paint line cx=20 cy=15 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 24
paint line cx=30 cy=15 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 26
paint line cx=40 cy=15 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 28
paint line cx=50 cy=15 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 30
paint line cx=10 cy=20 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 32
paint line cx=20 cy=20 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 34
paint line cx=30 cy=20 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 36
paint line cx=40 cy=20 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 38
paint line cx=50 cy=20 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 40
paint line cx=10 cy=25 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 42
paint line cx=20 cy=25 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 44
paint line cx=30 cy=25 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 46
paint line cx=40 cy=25 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 48
paint line cx=50 cy=25 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 50
paint line cx=10 cy=30 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 52
paint line cx=20 cy=30 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 54
paint line cx=30 cy=30 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 56
paint line cx=40 cy=30 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 58
paint line cx=50 cy=30 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 60
paint line cx=10 cy=35 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 72
paint line cx=20 cy=35 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 74
paint line cx=30 cy=35 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 76
paint line cx=40 cy=35 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 78
paint line cx=50 cy=35 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 80
paint line cx=10 cy=40 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 82
paint line cx=20 cy=40 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 84
paint line cx=30 cy=40 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 86
paint line cx=40 cy=40 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 88
paint line cx=50 cy=40 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 80
paint line cx=10 cy=45 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 92
paint line cx=20 cy=45 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 94
paint line cx=30 cy=45 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 96
paint line cx=40 cy=45 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 98
paint line cx=50 cy=45 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 100
paint line cx=10 cy=50 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 22
paint line cx=20 cy=50 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 24
paint line cx=30 cy=50 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 26
paint line cx=40 cy=50 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 28
paint line cx=50 cy=50 alpha=45 length=4 color=red delay=200; // 30
write clear value="Alle eben durchgestrichen Zahlen haben als Teiler die 2 und sind damit keine Primzahlen.";
wait delay=8000;
write clear value="Gehe wieder nach oben und kreise die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 3." delay=1500;
paint pencil x=3.5 y=6.5 color=blue mdx=60 mdy=60 delay=50;
transform pencil mx=0 my=0 mdx=12.5 mdy=0 delay=1100;
paint ellipse color=blue x=15 y=5 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
wait delay=5000;
write clear value="Streiche von dort nun jede 3. Zahl durch __ also alle Zahlen mit 3 als Teiler. (Die durchgestrichenen Zahlen zählst du mit.)" delay=2000;
paint line cx=30 cy=5 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 6
paint line cx=45 cy=5 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 9
paint line cx=10 cy=10 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 12
paint line cx=25 cy=10 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 15
paint line cx=40 cy=10 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 18
paint line cx=5 cy=15 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 21
paint line cx=20 cy=15 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 24
paint line cx=35 cy=15 alpha=135 length=4 color=blue pencil keep; // 27
paint line cx=50 cy=15 alpha=135 length=4 color=blue pencil; // 30
paint line cx=15 cy=20 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 33
paint line cx=30 cy=20 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 36
paint line cx=45 cy=20 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 39
paint line cx=10 cy=25 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 42
paint line cx=25 cy=25 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 45
paint line cx=40 cy=25 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 48
paint line cx=5 cy=30 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 51
paint line cx=20 cy=30 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 54
paint line cx=35 cy=30 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 57
paint line cx=50 cy=30 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 60
paint line cx=15 cy=35 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 63
paint line cx=30 cy=35 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 66
paint line cx=45 cy=35 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 69
paint line cx=10 cy=40 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 72
paint line cx=25 cy=40 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 75
paint line cx=40 cy=40 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 78
paint line cx=5 cy=45 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 81
paint line cx=20 cy=45 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 84
paint line cx=35 cy=45 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 87
paint line cx=50 cy=45 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 90
paint line cx=15 cy=50 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 93
paint line cx=30 cy=50 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 96
paint line cx=45 cy=50 alpha=135 length=4 color=blue delay=200; // 99
wait delay=8000;
write clear value="Gehe wieder nach oben und kreise wieder die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 5." delay=1000;
paint pencil x=3.5 y=6.5 color=purple mdx=60 mdy=60 delay=50;
transform pencil mx=0 my=0 mdx=22.5 mdy=0 delay=1100;
paint ellipse color=purple x=25 y=5 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
wait delay=5000;
write clear value="Streiche von dort nun jede 5. Zahl durch __ also alle Zahlen, die als Teiler die 5 haben." delay=2000;
paint line cx=50 cy=5 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 10
paint line cx=25 cy=10 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 15
paint line cx=50 cy=10 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 20
paint line cx=25 cy=15 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 25
paint line cx=50 cy=15 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 30
paint line cx=25 cy=20 alpha=90 length=4 color=purple pencil keep; // 35
paint line cx=50 cy=20 alpha=90 length=4 color=purple pencil; // 40
paint line cx=25 cy=25 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 45
paint line cx=50 cy=25 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 50
paint line cx=25 cy=30 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 55
paint line cx=50 cy=30 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 60
paint line cx=25 cy=35 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 65
paint line cx=50 cy=35 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 70
paint line cx=25 cy=40 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 75
paint line cx=50 cy=40 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 80
paint line cx=25 cy=45 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 85
paint line cx=50 cy=45 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 90
paint line cx=25 cy=50 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 95
paint line cx=50 cy=50 alpha=90 length=4 color=purple delay=200; // 100
wait delay=8000;
write clear value="Wiederhole das mit der nächsten, nicht durchgestrichenen Zahl: der 7." delay=1000;
paint pencil x=3.5 y=6.5 color=green mdx=60 mdy=60 delay=50;
transform pencil mx=0 my=0 mdx=32.5 mdy=0 delay=1100;
paint ellipse color=green x=35 y=5 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
wait delay=5000;
paint line cx=20 cy=10 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 14
paint line cx=5 cy=15 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 21
paint line cx=40 cy=15 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 28
paint line cx=25 cy=20 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 35
paint line cx=10 cy=25 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 42
paint line cx=45 cy=25 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 49
paint line cx=30 cy=30 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 56
paint line cx=15 cy=35 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 63
paint line cx=50 cy=35 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 70
paint line cx=35 cy=40 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 77
paint line cx=20 cy=45 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 84
paint line cx=5 cy=50 alpha=180 length=4 color=green pencil keep; // 91
paint line cx=40 cy=50 alpha=180 length=4 color=green pencil; // 98
wait delay=8000;
write clear value="Wenn du das Verfahren mit allen Zahlen der ersten Zeile des Zahlenquadrats ausgeführt hast, bist du fertig." delay=1500;
write value="Alle nicht durchgestrichenen (und hier eingekreisten) Zahlen sind Primzahlen, denn sie haben keine der kleineren Primzahlen als Teiler.";
paint pencil x=6 y=11.5 flyin;
paint ellipse x=5 y=10 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400;
transform pencil mdx=10 delay=1100; paint ellipse x=15 y=10 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
transform pencil mdx=20 delay=1100; paint ellipse x=35 y=10 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
transform pencil mdx=10 delay=1100; paint ellipse x=45 y=10 r=2.1 thickness=3 fadein=south delay=400; // 2
delete pencil flyout;
paint ellipse x=15 y=15 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=45 y=15 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=5 y=20 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=35 y=20 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=5 y=25 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=15 y=25 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=35 y=25 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=15 y=30 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=45 y=30 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=5 y=35 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=35 y=35 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=5 y=40 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=15 y=40 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=45 y=40 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=15 y=45 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=45 y=45 r=2.1 thickness=3 delay=200;
paint ellipse x=35 y=50 r=2.1 thickness=3 delay=200;
set originx=0 originy=0;
set animate=true;
paint id=r1 rect x=0 y=0 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r2 rect x=40 y=0 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r3 rect x=0 y=10 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r4 rect x=0 y=25 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r5 rect x=10 y=30 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r6 rect x=10 y=15 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r7 rect x=40 y=30 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r8 rect x=30 y=25 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r9 rect x=10 y=45 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r10 rect x=40 y=45 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r11 rect x=0 y=40 width=5 height=10 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r12 rect x=30 y=10 width=5 height=5 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r13 rect x=40 y=15 width=5 height=10 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r14 rect x=30 y=35 width=5 height=10 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r15 rect x=5 y=5 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r16 rect x=15 y=0 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r17 rect x=20 y=5 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r18 rect x=25 y=0 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r19 rect x=35 y=0 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
paint id=r20 rect x=45 y=0 width=5 height=50 color=none fill=white opacity=0.01;
delete id=quad; paint quadpaper;
delay=100;
transform id=r1 opacity=0.9; transform id=r2 opacity=0.9; transform id=r3 opacity=0.9; transform id=r4 opacity=0.9;
transform id=r5 opacity=0.9; transform id=r6 opacity=0.9; transform id=r7 opacity=0.9; transform id=r8 opacity=0.9;
transform id=r9 opacity=0.9; transform id=r10 opacity=0.9; transform id=r11 opacity=0.9; transform id=r12 opacity=0.9;
transform id=r13 opacity=0.9; transform id=r14 opacity=0.9; transform id=r15 opacity=0.9; transform id=r16 opacity=0.9;
transform id=r17 opacity=0.9; transform id=r18 opacity=0.9; transform id=r19 opacity=0.9; transform id=r20 opacity=0.9;
repeat button;
(Das Verfahren ist nach dem Gelehrten Eratosthenes benannt, der vor über 2200 Jahren in Griechenland und Ägypten gelebt hat.)
Mit dem Sieb des Eratosthenes kannst du alle Primzahlen finden, die kleiner als eine beliebig hohe Zahl sind.
Du musst dazu nur noch mehr Zahlen in einem Quadrat aufschreiben und für alle Zahlen der ersten Reihe den Sieb anwenden.
///
Das ist bei wirklich großen Zahlen natürlich sehr mühsam.
Wie kannst du sonst noch Primzahlen finden?
Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, gehe so vor:
///
Versuche, ob sich die Zahl jeweils durch 2, 3, 5, 7 und alle weiteren Primzahlen, die mit sich selbst multipliziert kleiner sind als die Zahl, ohne Rest teilen lässt.
Ist dies mit keiner Primzahl möglich, dann ist die Zahl eine Primzahl.
Ist dies mit mindestens einer Primzahl möglich, dann ist die Primzahl ein Teiler der Zahl. Also ist die Zahl dann keine Primzahl.
Aufgabe: Untersuche, ob die Zahlen 113 und 371 Primzahlen sind.
//set animate=false;
// 113
paint quadpaper;
write clear value="Untersuche die Zahl 113.";
wait delay=5000;
set originy=5;
write clear value="Die erste Primzahl ist 2." delay=1500;
write value="$2\cdot2=4$ ist kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 2 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="113:2=56" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 1" fadein=west delay=1500;
write value="Das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=10;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 3." delay=1500;
write value="$3\cdot3=9$ ist auch noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 3 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="113:3=37" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 2" fadein=west delay=1500;
write value="Auch das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=15;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 5." delay=1500;
write value="$5\cdot5=25$ ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 5 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="113:5=20" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 13" fadein=west delay=1500;
write value="Auch das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=20;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 7." delay=1500;
write value="$7\cdot7=49$ ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 7 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="113:7=16" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 1" fadein=west delay=1500;
write value="Auch das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=20;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 11." delay=1500;
write value="$11\cdot11=121$ ist größer als 113." delay=2000;
write value="11 kann damit kein Teiler von 113 sein und auch alle größeren Primzahlen nicht.";
wait delay=8000;
write clear value="113 hat also keine Primzahl als Teiler, die kleiner ist als 11." delay=1500;
write value="Also ist die 113 eine Primzahl.";
wait delay=10000;
// 371
set originy=0;
paint rect x=-5 y=-5 width=90 height=40 fill=white;
paint quadpaper;
write clear value="Untersuche nun die Zahl 371.";
wait delay=5000;
set originy=5;
write clear value="Die erste Primzahl ist 2." delay=1500;
write value="$2\cdot2=4$ ist kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 2 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="371:2=185" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 1" fadein=west delay=1500;
write value="Das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=10;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 3." delay=1500;
write value="$3\cdot3=9$ ist auch noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 3 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="371:3=123" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 2" fadein=west delay=1500;
write value="Auch das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=15;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 5." delay=1500;
write value="$5\cdot5=25$ ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 5 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="371:5=74" fadein=west;
paint text x=51 y=2.5 valign=middle color=red value="Rest 1" fadein=west delay=1500;
write value="Auch das ist nicht ohne Rest möglich.";
wait delay=8000;
set originy=20;
write clear value="Die nächste Primzahl ist 7." delay=1500;
write value="$7\cdot7=49$ ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 7 zu teilen." delay=2000;
paint gridtext x=5 y=5 value="371:7=53" color=green fadein=west;
write value="Das ist ohne Rest möglich. 7 ist damit ein Teiler von 371." delay=1500;
write value="Also ist 371 keine Primzahl.";
repeat button;
Die Teilbarkeitsregeln machen dir zumindest den Anfang der Prüfung etwas einfacher:
Für alle Zahlen (die größer als 5 sind) gilt:
Ist ihre letzte Ziffer gerade oder 5, ist die Zahl mindestens durch 2 oder 5 teilbar, also keine Primzahl.
Ist ihre Quersumme durch 3 teilbar, ist auch die Zahl durch 3 teilbar, also keine Primzahl.
///
Leider nein. Bei richtig großen Zahlen schaffen das nicht einmal mehr die schnellsten Computer!
Damit du für die Prüfung die Zahl auch wirklich nur durch Primzahlen teilst und keine Primzahl beim Teilen vergisst,
ist es gut, möglichst viele von ihnen auswendig zu wissen.
///
Zumindest alle, die kleiner sind als 20. Lerne also auswendig:
paint gridtext x=5 y=4.5 size=0.6 color=green value="23 5 7";
paint gridtext x=0.8 y=9.5 size=0.6 color=green value="1 3 7 9";
paint gridtext x=-0.8 y=9.5 size=0.6 color=green value="1 1 1 1";
paint id=r1 rect x=0 y=0 width=50 height=50 color=none fill=white;
paint id=r2 rect x=0 y=5 width=50 height=50 color=none fill=white;
paint id=quad quadpaper;
delay=100;
// Zahlen auflisten
transform id=r1 mx=50 transition=1s; delay=1050;
transform id=r1 mdx=-50 mdy=5 transition=0s; transform id=r2 mdy=5 transition=0s delay=50; transform id=r1 mx=50 transition=1s delay=1050;
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;
;;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch?
text="Alle natürlichen Zahlen haben mindestens 2/_Teiler.";
text="Primzahlen haben genau 2 unterschiedliche Teiler." correct;
text="Die 1 ist die kleinste Primzahl.";
text="Eine Primzahl lässt sich nur durch eine einzige Primzahl teilen." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
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