Was ist „Mathe? KLARO!“?

Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz

Hier lernst du, Terme mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz umzuformen und zu vereinfachen.

Assoziativ- und Distributivgesetz

Es gibt Zahnklammern, Haarklammern, Nasenklammern, Wäscheklammern, Heftklammern, Büroklammern und und und ...

Und es gibt Klammern in Rechenausdrücken (Termen).
Und Regeln, wie sie gesetzt und entfernt werden können.

wie du Klammern in Termen mit negativen Zahlen setzt oder entfernst und
was das Assoziativgesetz und
das Distributivgesetz ist.

Eine der wichtigsten Rechenregeln in der Mathematik hast du sicher schon gelernt: Klammern immer zuerst ausrechnen!

\blacksquare3⋅(4+2) \blacksquare3⋅(4+2)| in Klammer addieren =3⋅6 =3⋅6| multiplizieren =18

Aber wann darfst du Klammern selber setzen? Oder entfernen? Ohne dass der Wert des Terms sich ändert?
Und warum überhaupt?

Zum "Warum": Mit dem geschickten Setzen von Klammern kannst du Terme vereinfachen, also leichter ausrechnen.
Und manche Terme (nämlich solche mit "Variablen" /- was das ist, lernst du noch) kannst du sogar nur dann ausrechnen, wenn du Klammern gezielt setzt oder entfernt.

Klammern richtig in Terme setzen und entfernen zu können ist also wirklich wichtig! Du wirst das in den nächsten Jahren in Mathe noch ganz, ganz oft machen.
Und jetzt zum "Wie":

Klammern um negative Zahlen

Dass du eine negative Zahl besser in Klammern schreibst, weißt du sicher schon. Manchmal sieht der Term dadurch richtig unübersichtlich aus.
Dann ist es oft hilfreich, negative Zahlen in positive Zahlen umzuwandeln: Eine Addition mit einer (negativen) Zahl kannst du zu einer gleichwertigen Subtraktion mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen.

\blacksquare8+(-3) \blacksquare8+(-3)| als Subtraktion =8-3

Umgekehrt kannst du eine Subtraktion mit einer (negativen) Zahl zu einer gleichwertigen Addition mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen.

\blacksquare4-(-5) \blacksquare4-(-5)| als Addition =4+5

Man sagt auch: "Minus und Minus heben sich auf."

Diese Regel führt uns zu einem allgemeineren Tipp: Eine Addition kannst du immer in eine gleichwertige Subtraktion umkehren und umgekehrt.
Dabei musst du alle Zahlen im zweiten Operanden in ihre Gegenzahlen umkehren.

\blacksquare4+3 \blacksquare4+3| als Subtraktion =4-(-3) \, \blacksquare4+(-3) \blacksquare4+(-3)| als Subtraktion =4-3 \, \blacksquare4-3 \blacksquare4-3| als Addition =4+(-3) \, \blacksquare4-(-3) \blacksquare4-(-3)| als Addition =4+3 \,

Interessant ist das vor allem, wenn hinter dem Plus- oder Minusoperator ein längerer eingeklammerter Term steht. Denn dann musst du wirklich alle Zahlen innerhalb der Klammer in ihre Gegenzahlen umkehren.

\blacksquare3+(-4+2) \blacksquare3+(-4+2)| als Subtraktion =3\minus(4+(-2)) =3\minus(4+(-2))| in Klammer als Subtraktion =3-(4-2) =3-(4-2)| in Klammer subtrahieren =3-2 =1 \, \blacksquare7\minus(-4-2) \blacksquare7\minus(-4-2)| als Addition =7+(4-(-2)) =7+(4-(-2))| in Klammer als Addition =7+(4+2) =7+(4+2)| in Klammer addieren =7+6 =13

Oft gibt es mehrere gleichwertige Rechenwege. Das zweite Beispiel hättest du auch so ausrechnen können:

\blacksquare7-(-4-2) \blacksquare7-(-4-2)| in Klammer subtrahieren =7-(-6) =7-(-6)| als Addition =7+6 =13
Mit etwas Übung wirst du sicher bald immer einen guten Rechenweg finden!

Assoziativgesetz

Rechenausdrücke müssen (von Klammern usw. abgesehen) immer von links nach rechts ausgerechnet werden.
Immer?

Nein, nicht immer!

\blacksquare(3+4)+5 \blacksquare(3+4)+5| in Klammer addieren =7+5 =7+5| addieren =12 \, \blacksquare3+(4+5) \blacksquare3+(4+5)| in Klammer addieren =3+9 =3+9| addieren =12

Die Terme (3+4)+5 und 3+(4+5) ergeben beide 12:

\blacksquare(3+4)+5=12 \blacksquare3+(4+5)=12

Und wie sieht das bei der Multiplikation aus? Ganz ähnlich:

\blacksquare(3⋅4)⋅5 \blacksquare(3⋅4)⋅5| in Klammer multiplizieren =12⋅5 =12⋅5| multiplizieren =60 \, \blacksquare3⋅(4⋅5) \blacksquare3⋅(4⋅5)| in Klammer multiplizieren =3⋅20 =3⋅20| multiplizieren =60

Auch hier gilt also, die Terme (3⋅4)⋅5 und 3⋅(4⋅5) ergeben beide dasselbe Ergebnis:

\blacksquare(3⋅4)⋅5=60 \blacksquare3⋅(4⋅5)=60

Die Reihenfolge spielte bei der Addition also keine Rolle, ebenso wie bei der Multiplikation. Das Tolle daran: Das gilt für beliebige Zahlen. Probier's aus!
Weil diese Gesetzmäßigkeit so wichtig ist, hat sie einen eigenen Namen:

Assoziativgesetz

Seien a, b und c drei beliebige Zahlen. Dann gilt:

\blacksquare(a+b)+c=a+(b+c)

\blacksquare(a⋅ b)⋅ c=a⋅(b⋅ c)

Das heißt:
Verkettete (= zusammenhängende) Additionen können in beliebiger Reihenfolge nacheinander ausgeführt werden. Gleiches gilt für verkettete Multiplikationen.
Bei der Addition und der Multiplikation von mehreren Operanden kannst du zwei Operanden also in beliebiger Reihenfolge miteinander verbinden.

Und wenn zwischen den Additionen irgendwo noch eine Subtraktion ist? Oder zwischen den Multiplikationen noch eine Division? Oft kannst du vorteilhaft ausklammern, wenn du

eine Subtraktion in eine Addition mit der Gegenzahl oder
eine Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert

umkehrst.

\blacksquare7+4-4+5 \blacksquare7+4-4+5| als Addition =7+4+(-4)+5 =7+4+(-4)+5| Summanden verbinden =7+\[4+(-4)\]+5 =7+\[4+(-4)\]+5| in Klammer als Subtraktion =7+(4-4)+5 =7+(4-4)+5| Klammer= 0 =7+5 =7+5| addieren =12 \, \blacksquare3⋅2⋅4:8⋅3 \blacksquare3⋅2⋅4:8⋅3| als Multiplikation =3⋅2⋅4⋅\frac18⋅3 =3⋅2⋅4⋅\frac18⋅3| Faktoren verbinden =3⋅2⋅(4⋅\frac18)⋅3 =3⋅2⋅(4⋅\frac18)⋅3| in Klammer multiplizieren =3⋅2⋅\frac48⋅3 =3⋅2⋅\frac48⋅3| Bruch durch 4

Das war jetzt seeeehr ausführlich. Mit etwas Übung "siehst" du manche Vereinfachungen auch sofort: Suche nach Zahlen, die sich gegenseitig "aufheben" (die also zusammen 0 ergeben) oder die du gegenseitig "wegkürzen" kannst!

\blacksquare7+4-4+5 \blacksquare7+4-4+5| +4 und -4 "heben sich auf" =7+\strikeout4-4+5 =7+5 =12 \, \blacksquare3⋅2⋅4:8⋅3 \blacksquare3⋅2⋅4:8⋅3| Division als Bruch schreiben =\frac3⋅2⋅4⋅38 =\frac3⋅2⋅4⋅38| durch 8 kürzen =\frac3⋅\strikeout2⋅\strikeout4⋅3\strikeout8 =3⋅3 =9

Distributivgesetz

Betrachte folgende beiden Rechnungen:

\blacksquare9⋅3+9⋅7 =27+63 =90 \, \blacksquare9⋅(3+7) =9⋅10 =90

Es gilt also:

9⋅3+9⋅7=9⋅(3+7)

Die Gesetzmäßigkeit dahinter heißt:

Distributivgesetz

Seien a, b und c drei beliebige Zahlen. Dann gilt:

\blacksquarea⋅ b+a⋅ c=a⋅(b+c)

Das heißt: Werden zwei Zahlen mit demselben Faktor multipliziert, lassen sie sich als Summe zusammenfassen.

Statt zwei Multiplikationen musst du also nur noch eine Multiplikation ausrechnen. Gut, oder?

\blacksquare12⋅4+12⋅6 \blacksquare12⋅4+12⋅6| ausklammern =12⋅(4+6) =12⋅(4+6)| in Klammer addieren =12⋅10 =120

Das Distributivgesetz gilt auch für Subtraktionen und Divisionen. Und gemäß dem Kommutativgesetz kannst du auch mit ausgetauschten Faktoren rechnen:

\blacksquare12⋅4+6⋅12 \blacksquare12⋅4+6⋅12|

Das kannst du natürlich auch immer machen.
Aber manchmal ist es einfacher, einen Term auszurechnen, nachdem du ihn vorher umgeformt hast. Und bei Termen mit Variablen (das lernst du in einem anderen Lernthema!) geht das sogar oft gar nicht anders.

Hier lernst du, Terme mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz umzuformen und zu vereinfachen.

Assoziativ- und Distributivgesetz

Es gibt Zahnklammern, Haarklammern, Nasenklammern, Wäscheklammern, Heftklammern, Büroklammern und und und ... /// paint latex align=center valgin=middle value="(" x=6 y=3.8 flyin=west; paint latex align=center valgin=middle value=")" x=8 y=3.8 flyin=east; Und es gibt Klammern in Rechenausdrücken (Termen). /// Und Regeln, wie sie gesetzt und entfernt werden können.

wie du Klammern in Termen mit negativen Zahlen setzt oder entfernst und
was das Assoziativgesetz und
das Distributivgesetz ist.

;;;; ;;;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welches dieser Ausdrücke sind Terme? Klicke sie an! /// $7\cdot5$ $-2$ $(3+)\cdot5$ $5+3\cdot4-8+1000$ $0$ $35:0$ $(-7)\cdot(-3)$ #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Mit welchen dieser Terme ist der Term

$6\cdot2$

gleichwertig? /// $6+2$ $12$ $2+2+2+6$ $24:2$ #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Kannst du mit den folgenden Aktionen einen Term zu einen gleichwertigen Term umformen? /// text="Rechenoperation ausführen." correct; text="Durch Null teilen."; text="Eine natürliche Zahl addieren."; text="Einen Bruch erweitern." correct; text="Division in Multiplikation mit Kehrwert umwandeln." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie musst du den Term im nächsten Schritt umformen, um ihn zu berechnen? /// Klicke die Felder mit den Fragezeichen so oft an, bis die richtige Beschreibung erscheint. ///

$\align[14]{3\cdot(4+2^2)}$| ? in Klammer addieren in Klammer multiplizieren Potenz berechnen multiplizieren
$\align[3]{}\align[11]{=3\cdot(4+4)}$| ? in Klammer addieren in Klammer multiplizieren Potenz berechnen multiplizieren
$\align[3]{}\align[11]{=3\cdot8}$| ? in Klammer addieren in Klammer multiplizieren Potenz berechnen multiplizieren
$\align[3]{}\align[11]{=24}$

$_page.btn.next.text = (($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text); Eine der wichtigsten Rechenregeln in der Mathematik hast du sicher schon gelernt: Klammern immer zuerst ausrechnen! write value="$\blacksquare3\cdot(4+2)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare3\cdot(4+2)}$| in Klammer addieren" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[12]{=3\cdot6}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[12]{=3\cdot6}$| multiplizieren" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[12]{=18}$" delay=4000; Aber wann darfst du Klammern selber setzen? Oder entfernen? Ohne dass der Wert des Terms sich ändert? /// Und warum überhaupt? /// Zum ,,Warum'': Mit dem geschickten Setzen von Klammern kannst du Terme vereinfachen, also leichter ausrechnen. /// Und manche Terme (nämlich solche mit ,,Variablen'' /- was das ist, lernst du noch) kannst du sogar nur dann ausrechnen, wenn du Klammern gezielt setzt oder entfernt. /// Klammern richtig in Terme setzen und entfernen zu können ist also wirklich wichtig! Du wirst das in den nächsten Jahren in Mathe noch ganz, ganz oft machen. /// Und jetzt zum ,,Wie'':

Klammern um negative Zahlen

Dass du eine negative Zahl besser in Klammern schreibst, weißt du sicher schon. Manchmal sieht der Term dadurch richtig unübersichtlich aus. /// Dann ist es oft hilfreich, negative Zahlen in positive Zahlen umzuwandeln: Eine Addition mit einer (negativen) Zahl kannst du zu einer gleichwertigen Subtraktion mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen. write value="$\blacksquare8+(-3)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare8+(-3)}$| als Subtraktion" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=8-3}$" delay=4000; Umgekehrt kannst du eine Subtraktion mit einer (negativen) Zahl zu einer gleichwertigen Addition mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen. write value="$\blacksquare4-(-5)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare4-(-5)}$| als Addition" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=4+5}$" delay=4000; Man sagt auch: ,,Minus und Minus heben sich auf.'' Diese Regel führt uns zu einem allgemeineren Tipp: Eine Addition kannst du immer in eine gleichwertige Subtraktion umkehren und umgekehrt. /// Dabei musst du alle Zahlen im zweiten Operanden in ihre Gegenzahlen umkehren. write value="$\blacksquare4+3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare4+3}$| als Subtraktion" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=4-(-3)}$" delay=4000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare4+(-3)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare4+(-3)}$| als Subtraktion" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=4-3}$" delay=4000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare4-3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare4-3}$| als Addition" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=4+(-3)}$" delay=4000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare4-(-3)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[16]{\blacksquare4-(-3)}$| als Addition" delay=3000; write value="$\align[4]{}\align[13]{=4+3}$" delay=4000; write value="$\,$"; Interessant ist das vor allem, wenn hinter dem Plus- oder Minusoperator ein längerer eingeklammerter Term steht. Denn dann musst du wirklich alle Zahlen innerhalb der Klammer in ihre Gegenzahlen umkehren. write value="$\blacksquare3\style[red]{+}(-4+2)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare3\style[red]{+}(-4+2)}$| als Subtraktion" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=3\style[red]{\minus}(4+(-2))}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=3\style[red]{\minus}(4+(-2))}$| in Klammer als Subtraktion" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=3-(4-2)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=3-(4-2)}$| in Klammer subtrahieren" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=3-2}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=1}$" delay=2000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare7\style[red]{\minus}(-4-2)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare7\style[red]{\minus}(-4-2)}$| als Addition" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7\style[red]{+}(4-(-2))}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=7\style[red]{+}(4-(-2))}$| in Klammer als Addition" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7+(4+2)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=7+(4+2)}$| in Klammer addieren" delay=1000; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7+6}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=13}$" delay=2000; Oft gibt es mehrere gleichwertige Rechenwege. Das zweite Beispiel hättest du auch so ausrechnen können: write value="$\blacksquare7-(-4-2)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare7-(-4-2)}$| in Klammer subtrahieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7-(-6)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=7-(-6)}$| als Addition" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7+6}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=13}$" delay=2000; write value="
Mit etwas Übung wirst du sicher bald immer einen guten Rechenweg finden!";

Assoziativgesetz

Rechenausdrücke müssen (von Klammern usw. abgesehen) immer von links nach rechts ausgerechnet werden. /// Immer? /// Nein, nicht immer! /// write value="$\blacksquare(3+4)+5$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare(3+4)+5}$| in Klammer addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=7+5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=7+5}$| addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=12}$" delay=2000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare3+(4+5)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare3+(4+5)}$| in Klammer addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=3+9}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=3+9}$| addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=12}$" delay=2000; Die Terme $(3+4)+5$ und $3+(4+5)$ ergeben beide $12$: write value="$\blacksquare\align[9:r]{(3+4)+5}=12$" delay=2000; write value="$\blacksquare\align[9:r]{3+(4+5)}=12$" delay=2000; Und wie sieht das bei der Multiplikation aus? Ganz ähnlich: /// write value="$\blacksquare(3\cdot4)\cdot5$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare(3\cdot4)\cdot5}$| in Klammer multiplizieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=12\cdot5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=12\cdot5}$| multiplizieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=60}$" delay=2000; write value="$\,$"; write value="$\blacksquare3\cdot(4\cdot5)$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[19]{\blacksquare3\cdot(4\cdot5)}$| in Klammer multiplizieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=3\cdot20}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[15]{=3\cdot20}$| multiplizieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[15]{=60}$" delay=2000; Auch hier gilt also, die Terme $(3\cdot4)\cdot5$ und $3\cdot(4\cdot5)$ ergeben beide dasselbe Ergebnis: write value="$\blacksquare\align[9:r]{(3\cdot4)\cdot5}=60$" delay=2000; write value="$\blacksquare\align[9:r]{3\cdot(4\cdot5)}=60$" delay=2000; Die Reihenfolge spielte bei der Addition also keine Rolle, ebenso wie bei der Multiplikation. Das Tolle daran: Das gilt für beliebige Zahlen. Probier's aus! /// Weil diese Gesetzmäßigkeit so wichtig ist, hat sie einen eigenen Namen:

Assoziativgesetz

Seien $a$, $b$ und $c$ drei beliebige Zahlen. Dann gilt: write nofadein value="$\blacksquare\align[9:r]{(a+b)+c}=a+(b+c)$"; paint latex x=5 y=5.5 value="\enspace a \enspace + \enspace b \enspace + \enspace c \enspace"; paint id=l latex x=5 y=5.5 value="(\align[6]{})"; delay=2000; transform id=l mdx=10.6; delay=3000; transform id=l mdx=-10.6; delay=1000; repeat; /// write nofadein value="$\blacksquare\align[9:r]{(a\cdot b)\cdot c}=a\cdot(b\cdot c)$"; paint latex x=5 y=5.5 value="\enspace a \enspace \cdot \enspace b \enspace \cdot \enspace c \enspace"; paint id=l latex x=5 y=5.5 value="(\align[5.5]{})"; delay=2000; transform id=l mdx=9.2; delay=3000; transform id=l mdx=-9.2; delay=1000; repeat; Das heißt: ///Verkettete (= zusammenhängende) Additionen können in beliebiger Reihenfolge nacheinander ausgeführt werden. Gleiches gilt für verkettete Multiplikationen. /// Bei der Addition und der Multiplikation von mehreren Operanden kannst du zwei Operanden also in beliebiger Reihenfolge miteinander verbinden. /// Und wenn zwischen den Additionen irgendwo noch eine Subtraktion ist? Oder zwischen den Multiplikationen noch eine Division? Oft kannst du vorteilhaft ausklammern, wenn du

eine Subtraktion in eine Addition mit der Gegenzahl oder
eine Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert

umkehrst. write value="$\blacksquare7+4-4+5$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare7+4-4+5}$| als Addition"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+4+(-4)+5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=7+4+(-4)+5}$| Summanden verbinden"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+\[4+(-4)\]+5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=7+\[4+(-4)\]+5}$| in Klammer als Subtraktion"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+(4-4)+5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=7+(4-4)+5}$| Klammer$= 0$"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+5}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=7+5}$| addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=12}$" delay=2000; write value="$\,$"; wait button="Nächstes Beispiel!" delay; write value="$\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3}$| als Multiplikation"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{8}\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{8}\cdot3}$| Faktoren verbinden"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot(4\cdot\frac{1}{8})\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot(4\cdot\frac{1}{8})\cdot3}$| in Klammer multiplizieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot\frac{4}{8}\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot\frac{4}{8}\cdot3}$| Bruch durch 4 kürzen"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot\frac{4:4}{8:4}\cdot3}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot3}$| Faktoren verbinden"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot(2\cdot\frac{1}{2})\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot(2\cdot\frac{1}{2})\cdot3}$| in Klammer multiplizieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot\frac{2}{2}\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot\frac{2}{2}\cdot3}$| Bruch durch 2 kürzen"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot\frac{2:2}{2:2}\cdot3}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot\frac{1}{1}\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot\frac{1}{1}\cdot3}$| vereinfachen"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot1\cdot3}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=3\cdot1\cdot3}$| multiplizieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=9}$" delay=2000; wait button="Von vorne!"; repeat; Das war jetzt seeeehr ausführlich. Mit etwas Übung ,,siehst'' du manche Vereinfachungen auch sofort: Suche nach Zahlen, die sich gegenseitig ,,aufheben'' (die also zusammen 0 ergeben) oder die du gegenseitig ,,wegkürzen'' kannst! write value="$\blacksquare7+4-4+5$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare7+4-4+5}$| $+4$ und $-4$ ,,heben sich auf''" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+\strikeout{4-4}+5}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=7+5}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=12}$" delay=2000; write value="$\,$"; delay=2000; write value="$\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3}$| Division als Bruch schreiben" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=\frac{3\cdot2\cdot4\cdot3}{8}}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=\frac{3\cdot2\cdot4\cdot3}{8}}$| durch 8 kürzen" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=\frac{3\cdot\strikeout{2}\cdot\strikeout{4}\cdot3}{\strikeout{8}}}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=3\cdot3}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=9}$" delay=2000;

Distributivgesetz

Betrachte folgende beiden Rechnungen: write value="$\blacksquare9\cdot3+9\cdot7$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=27+63}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=90}$" delay=2000; write value="$\,$"; delay=2000; write value="$\blacksquare9\cdot(3+7)$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=9\cdot10}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=90}$" delay=2000; Es gilt also:

$9\cdot3+9\cdot7=9\cdot(3+7)$

/// Die Gesetzmäßigkeit dahinter heißt:

Distributivgesetz

Seien $a$, $b$ und $c$ drei beliebige Zahlen. Dann gilt: write nofadein value="$\blacksquare\align[9:r]{a\cdot b+a\cdot c}=a\cdot(b+c)$"; paint latex x=5 y=5.5 value="a\cdot"; paint id=l2 latex x=10 y=5.5 value="b+"; paint id=l3 latex x=17 y=5.5 value="a\cdot"; paint id=l4 latex x=22 y=5.5 value="c"; paint id=l5 latex x=10 y=5.5 value="(\align[4.2]{})" opacity=0; delay=2000; transform id=l3 mdx=-12 xopacity=0; transform id=l2 mdx=2; transform id=l4 mdx=-3.5; transform id=l5 opacity=1; delay=5000; transform id=l3 mdx=12 xopacity=1; transform id=l2 mdx=-2; transform id=l4 mdx=3.5; transform id=l5 opacity=0; delay=3000; repeat; Das heißt: Werden zwei Zahlen mit demselben Faktor multipliziert, lassen sie sich als Summe zusammenfassen. Statt zwei Multiplikationen musst du also nur noch eine Multiplikation ausrechnen. Gut, oder? write value="$\blacksquare12\cdot4+12\cdot6$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare12\cdot4+12\cdot6}$| ausklammern" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[9]{=12\cdot(4+6)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=12\cdot(4+6)}$| in Klammer addieren" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[16]{=12\cdot10}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[16]{=120}$" delay=2000; Das Distributivgesetz gilt auch für Subtraktionen und Divisionen. Und gemäß dem Kommutativgesetz kannst du auch mit ausgetauschten Faktoren rechnen: write value="$\blacksquare12\cdot4+6\cdot12$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare12\cdot4+6\cdot12}$| Faktoren tauschen"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=12\cdot4+12\cdot6}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=12\cdot4+12\cdot6}$| ausklammern"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=12\cdot(4+6)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=12\cdot(4+6)}$| in Klammer addieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=12\cdot10}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[16]{=120}$" delay=2000; write value="$\,$"; wait button="Nächstes Beispiel!" delay; write value="$\blacksquare9\cdot4-9\cdot3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare9\cdot4-9\cdot3}$| ausklammern"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=9\cdot(4-3)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=9\cdot(4-3)}$| in Klammer subtrahieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=9\cdot1}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[16]{=9}$" delay=2000; write value="$\,$"; wait button="Nächstes Beispiel!" delay; write value="$\blacksquare5:7+5:3$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare5:7+5:3}$| ausklammern"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=5:(7+3)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=5:(7+3)}$| in Klammer addieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=5:10}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=5:10}$| als Bruch Schreiben"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=\frac{5}{10}}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=\frac{5}{10}}$| durch 5 kürzen"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=\frac{1}{2}}$" delay=2000; write value="$\,$"; wait button="Nächstes Beispiel!" delay; write value="$\blacksquare15:7-15:2$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[20]{\blacksquare15:7-15:2}$| ausklammern"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[9]{=15:(7-2)}$" delay=2000; write lastclear nofadein value="$\align[4]{}\align[16]{=15:(7-2)}$| in Klammer subtrahieren"; wait delay; write value="$\align[4]{}\align[16]{=15:5}$" delay=2000; write value="$\align[4]{}\align[16]{=3}$" delay=2000; /// Das kannst du natürlich auch immer machen. /// Aber manchmal ist es einfacher, einen Term auszurechnen, nachdem du ihn vorher umgeformt hast. Und bei Termen mit Variablen (das lernst du in einem anderen Lernthema!) geht das sogar oft gar nicht anders. $_page.introtext="Hast du alles verstanden?";; ; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie wird der Term im nächsten Schritt umgeformt? /// Klicke die Felder mit den Fragezeichen so oft an, bis die richtige Beschreibung erscheint. ///

$\align[17]{4+3\cdot5-3\cdot2-9}$| ? verbinden ausklammern addieren subtrahieren multiplizieren vereinfachen
$\align[1]{}\align[16]{=4+3\cdot(5-2)\minus9}$| ? verbinden ausklammern addieren subtrahieren multiplizieren vereinfachen
$\align[1]{}\align[16]{=4+3\cdot3-9}$| ? verbinden ausklammern addieren subtrahieren multiplizieren vereinfachen
$\align[1]{}\align[16]{=4+9-9}$| ? verbinden ausklammern addieren subtrahieren multiplizieren vereinfachen
$\align[1]{}\align[16]{=4+(9-9)}$| ? verbinden ausklammern addieren subtrahieren multiplizieren vereinfachen
$\align[1]{}\align[11]{=4}$

Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).

Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen, verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten. Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.

Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

Lernen und Üben

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Lernen Vertiefen Profi

5. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Was sind natürliche Zahlen? Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl Natürliche Zahlen darstellen Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen Stellenwerttafel für natürliche Zahlen Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Addition von natürlichen Zahlen Schriftliche Addition Subtraktion von natürlichen Zahlen Schriftliche Subtraktion Multiplikation von natürlichen Zahlen Schriftliche Multiplikation (1) Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Division von natürlichen Zahlen Schriftliche Division (1) Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen

Größen und Messen

Noch keine Inhalte vorhanden

Raum und Form

Grundlagen

Was ist Geometrie? Punktabstände und Streckenlängen messen Punktabstände und Streckenlängen abzählen Geraden und Halbgeraden Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Figuren auf Karopapier verschieben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen

6. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Potenzen Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25 Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2) Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Terme

Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks

Größen und Messen

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Raum und Form

Grundlagen

Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren auf Karopapier verschieben Figuren mit dem Geodreieck verschieben Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

7. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Potenzen Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen

Brüche

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind gemischte Zahlen? Umwandeln unechter Brüche in gemischte Zahlen Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Multiplikation und Division von gemischten Zahlen Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen

Terme

Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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8. Klasse

Zahlen und Rechnen

Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Terme

Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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9. Klasse

Zahlen und Rechnen

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Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren

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10. Klasse

Zahlen und Rechnen

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Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Was ist eine Potenzfunktion? Potenzfunktionen lösen Graphen der Potenzfunktion $f(x)=x^n$ skizzieren Wurzelfunktion und ihre Definitions- und Wertemenge Parametern in Funktionstermen von Potenzfunktion deuten Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Graphen von Exponentialfunktionen skizzieren Parameter in Exponential- und Wurzelfunktionen deuten Was ist ein Logarithmus? Exponentielle Gleichungen mit Logarithmen lösen Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren Wachstumsvorgänge deuten Steigungsverhalten von Funktionen beschreiben Grenzwertbegriff im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen Was ist eine Ableitung einer ganzrationalen Funktion? Ableitung berechnen Ableitungsfunktionen durch graphisches Differenzieren ermitteln Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmen Extremstellen, Wendestellen, Symmetrie und Asymptoten

Wahrscheinlichkeiten

Noch keine Inhalte vorhanden

Für Lehrerinnen und Lehrer

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!

Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“ erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken, Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.

Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.

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Tel. +49 40 22854429

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Datenschutzerklärung

1. Allgemeines zur Datenverarbeitung

1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten

Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist. Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin. Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.

1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten

Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage. Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage. Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.

1.3 Datenlöschung und Speicherdauer

Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt. Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde. Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.

2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles

2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.

Folgende Daten werden hierbei erhoben:

IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde

Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.

2.2 Zweck der Datenverarbeitung

Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen. Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.

Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen. Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme. In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO. Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.

2.3 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist. Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall. Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.

2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich. Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

3. Verwendung von Cookies

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4. Kontaktformular

4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

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Datum und Uhrzeit des Absendens

Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.

Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.

4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung

Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.

4.3 Zweck der Datenverarbeitung

Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.

4.4 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist. Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.

4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen. Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden. Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.

5. Feedbackformulare

5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert. Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.

5.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

6. Formular zum Mailen von Lerncodes

6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

E-Mail-Adresse
Lerncode

6.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.