Was ist „Mathe? KLARO!“?

Senkrechte und Mittelsenkrechte

Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.

Senkrechten und Mittelsenkrechten

Wenn sich Geraden, Strahlen oder Strecken kreuzen, dann immer in einem bestimmten Winkel.
Ein besonderer und (nicht nur) in der Geometrie wichtiger Winkel ist der rechte Winkel.
Der rechte Winkel ist sogar so besonders, dass Geraden, die andere Linien im rechten Winkel kreuzen, einen eigenen Namen bekommen: Senkrechte.

was eine Senkrechte ist,
was das Besondere an Senkrechten ist,
was eine Mittelsenkrechte ist,
wie du Senkrechten und Mittelsenkrechten mit dem Geodreieck und
mit Zirkel und Lineal zeichnest.

Senkrechte

Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine andere Gerade, eine Strecke oder eine Halbgerade im rechten Winkel kreuzt.

Die Gerade h ist eine Senkrechte zur Geraden g. Man sagt auch: Die Geraden (oder Strecken oder Halbgeraden) sind rechtwinklig.
Dass sich zwei Geraden, Strecken oder Halbgeraden im rechten Winkel kreuzen, markierst du in der Zeichnung so:

Kennzeichne einen der Winkel mit einem Punkt als rechten Winkel.
Oder schreibe in oder unter die Zeichnung:
g \perp hDas sprichst du so: "Die Geraden g und h sind rechtwinklig."

Fällt dir was auf? Wenn h eine Senkrechte zu g ist, ist immer auch g eine Senkrechte zu h!
Anders ausgedrückt: Wenn h\perp g ist, dann ist immer auch g\perp h.

Nein, der Winkel ist egal: Wenn zwei Geraden oder Strecken oder Halbgeraden rechtwinklig sind, sind automatisch alle vier Winkel, die am Schnittpunkt anliegen, rechte Winkel:

Das Wort senkrecht hast du sicher schon gehört.
Man sagt zum Beispiel: "Ein Stein fällt senkrecht herunter", wenn er ganz genau nach unten fällt, also nicht schräg oder im Bogen.

Die Fallstrecke des Steins bildet dann mit dem (ebenen) Boden, auf den er fällt, einen rechten Winkel.

Statt: //"Die Geraden g und h sind rechtwinklig"
sagt man daher manchmal auch: //"Die Geraden g und h sind senkrecht."
Damit ist nicht gemeint, dass die Geraden senkrecht "nach unten" verlaufen, sondern nur "senkrecht" in Bezug auf die andere Gerade. Also rechtwinklig.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit dem Geodreieck?

Um eine Senkrechte zu einer Geraden (oder einer Strecke oder einer Halbgeraden) zu zeichnen, kannst du ein Geodreieck verwenden: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden g.

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks. 3. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: g\perp h.

Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen Punkt?

Oft soll die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen. Das machst du so: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt P.

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Verschiebe das Geodreieck so, dass die lange Seite am Punkt anliegt. Wichtig: Die Mittellinie muss dabei auf der Geraden, Strecke oder Halbgeraden bleiben! 3. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks durch den Punkt und die Gerade. 4. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: g\perp h.

Mittelsenkrechte

Eine besondere Senkrechte ist die Mittelsenkrechte: Eine Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte, die eine Strecke genau in der Mitte zwischen ihren beiden Endpunkten schneidet.

Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke.
Weil die Mittelsenkrechte h die Strecke g genau in der Mitte schneidet, müssen die Strecken \BarAM und \BarBM gleich lang sein. Das schreibst du so:|\BarAM|=|\BarBM|
Sprich: "Die Länge der Strecke zwischen den Punkten A und M ist gleich der Länge der Strecke zwischen den Punkten B und M."oder:"Die Strecke zwischen den Punkten A und M ist genauso lang wie die Strecke zwischen den Punkten B und M."

Eine Mittelsenkrechte kannst du mit dem Geodreieck zeichnen: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke \BarAB.

1. Miss mit dem Geodreieck oder einem Lineal die Länge der Strecke \BarAB. Du misst: |\BarAB|=6\cm 2. Berechne die Hälfte der gemessenen Länge. Die Hälfte der Länge der Strecke \BarAB ist 3\cm. 3. Zeichne auf die Strecke einen Punkt, der 3\cm (also die Hälfte der Länge der Strecke) von Punkt A entfernt ist. Der Punkt M teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken. 4. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Strecke und mit dem Nullpunkt auf Punkt M. 5. Zeichne nun die Senkrechte zur Strecke \BarAB durch den Punkt M. Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte der Strecke \BarAB.

Das eben beschriebenen Verfahren hat einen großen Nachteil: Es kann vieles schief gehen!
Zum Beispiel kannst du

die Länge der Strecke falsch ablesen,
dich bei der Berechnung der Hälfte der Streckenlänge verrechnen oder
den Punkt M falsch einzeichnen.

Auch bleibt an der Zeichnung unklar, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast.

Einfacher und genauer geht das Zeichnen der Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke \BarAB.

1. Stich den Zirkel in Punkt A und öffne ihn etwas über die Hälfte der Streckenlänge hinaus. 2. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A. 3. Stich mit derselben Zirkelöffnung in Punkt B und zeichne einen Kreisbogen um Punkt B. Die beiden Kreisbögen kreuzen sich in zwei Punkten. 4. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte der Strecke \BarAB.

An den gezeichneten Kreisbögen kann man schnell sehen, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast! Du solltest sie daher auf keinen Fall wegradieren!

Was ist eigentlich das Besondere an einer Mittelsenkrechten? Außer, dass sie die Strecke offensichtlich in zwei gleich lange Teilstrecken teilt?

Sieh dir die Animation an:

Für jeden der Punkte auf der Mittelsenkrechten g liegen die Punkte A und B auf demselben Kreisbogen. A und B sind also von diesem Punkt gleich weit entfernt.
Das gilt allgemein:

Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke ist von deren Endpunkten gleich weit entfernt.
Alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten einer Strecke haben, liegen auf der Mittelsenkrechten dieser Strecke.

Toll, was?

Die Lösungen der folgenden beiden Aufgabenbeispiele kannst du dir eigentlich selbst herleiten.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit Zirkel und Lineal?

Oben hast du das bereits mit einem Geodreieck gemacht. Nun eben mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden.

1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf die Gerade. Die Punkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Nun zeichnen wir die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke. 2. Stich den Zirkel in den ersten Punkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Punkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade h ist eine Senkrechte auf der Geraden g.

Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen gegebenen Punkt mit Zirkel und Lineal?

Auch das hast du schon mit einem Geodreieck gemacht. Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt.

1. Stich den Zirkel in Punkt P und zeichne um ihn einen Kreisbogen, der die Gerade g in zwei Punkten kreuzt. Die beiden Schnittpunkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Jetzt musst du nur noch die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke zeichnen. 2. Stich den Zirkel in den ersten Schnittpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Schnittpunkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade h ist die Senkrechte auf der Geraden g durch Punkt P.

Die Konstruktion von Mittelsenkrechten nur mit Zirkel und Lineal erscheint dir vielleicht recht kompliziert zu sein. Aber sie hat zwei wesentliche Vorteile:

Sie ist nicht anfällig für Messfehler.
Anhand der Zeichnung kann man erkennen, was für eine Gerade du gezeichnet hast.

Übe daher gut die Konstruktion von Senkrechten und Mittelsenkrechten (und in anderen Lerneinheiten auch von anderen Objekten) nur mit Zirkel und Lineal! Konstruktionen von geometrischen Objekten nur mit Zirkel und Lineal heißen Grundkonstruktionen.

Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.

Senkrechten und Mittelsenkrechten

Wenn sich Geraden, Strahlen oder Strecken kreuzen, dann immer in einem bestimmten Winkel. ///Ein besonderer und (nicht nur) in der Geometrie wichtiger Winkel ist der rechte Winkel. ///Der rechte Winkel ist sogar so besonders, dass Geraden, die andere Linien im rechten Winkel kreuzen, einen eigenen Namen bekommen: Senkrechte.

was eine Senkrechte ist,
was das Besondere an Senkrechten ist,
was eine Mittelsenkrechte ist,
wie du Senkrechten und Mittelsenkrechten mit dem Geodreieck und
mit Zirkel und Lineal zeichnest.

;;;;;; ; $_winkel1_1_complete = $_page.inputs.winkel1_1_0 .gt. 0; $_winkel1_1_correct = $_page.inputs.winkel1_1_0 == 90; ;;;;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Alle Punkte auf einem Kreis sind gleich weit vom Kreismittelpunkt entfernt." correct; text="Der Abstand eines Punktes innerhalb eines Kreises vom Kreismittelpunkt ist größer als der Radius."; text="Mit Kreis wird nur die Kreislinie bezeichnet." correct; text="Jeder Kreis hat einen Mittelpunkt." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie groß ist ein rechter Winkel? Schreibe die richtige Zahl in die Lücke: /// Ein rechter Winkel ist $\circ$ groß. #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welcher Winkel ist abgebildet? setorigin x=40 y=30; paint cross x=0 y=0; paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90; paint id=li line x=0 y=0 length=30 alpha=90 delay=100; transform id=li rotate=-120 transition=1s delay=1100; paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=-30 r=8 fill=lightgreen angcaption=\alpha; paint cross x=0 y=0; Spitzer Winkel Rechter Winkel
Stumpfer Winkel Überstumpfer Winkel #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welcher Winkel ist abgebildet? setorigin x=40 y=20; paint cross x=0 y=0; paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90; paint id=li line x=0 y=0 length=30 alpha=90 delay=100; transform id=li rotate=-210 transition=1s delay=1100; paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=-120 r=8 fill=lightgreen angcaption=\alpha; paint cross x=0 y=0; Spitzer Winkel Rechter Winkel
Stumpfer Winkel Überstumpfer Winkel #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welcher Winkel ist abgebildet? setorigin x=40 y=35; paint cross x=0 y=0; paint line x=0 y=0 length=30 alpha=60; paint id=li line x=0 y=0 length=30 alpha=60 delay=100; transform id=li rotate=-90 transition=1s delay=1100; paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=60 alpha2=-30 r=8 fill=lightgreen angcaption=.; paint cross x=0 y=0; Spitzer Winkel Rechter Winkel
Stumpfer Winkel Überstumpfer Winkel #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welcher Winkel ist abgebildet? setorigin x=50 y=35; paint cross x=0 y=0; paint line x=0 y=0 length=30 alpha=-30; paint id=li line x=0 y=0 length=30 alpha=-30 delay=100; transform id=li rotate=-60 transition=1s delay=1100; paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=-30 alpha2=-90 r=10 fill=lightgreen angcaption=\alpha; paint cross x=0 y=0; Spitzer Winkel Rechter Winkel
Stumpfer Winkel Überstumpfer Winkel $_page.btn.next.text = (($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text);

Senkrechte

Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine andere Gerade, eine Strecke oder eine Halbgerade im rechten Winkel kreuzt. setorigin x=40 y=25 alpha=-10; paint line x=-35 y=0 x2=35 y2=0 caption=g:-20 triangle; paint triangle id=tri x=0 y=0 rotate=-10 flyin; paint line x=0 y=-20 x2=0 y2=20 caption=h:10 pencil; delete id=tri flyout; paint arcsegment x=0 y=0 r=8 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=. fill=lightgreen fadein=north; paint latex x=5 y=15 value="g\perp h"; repeat button; Die Gerade $h$ ist eine Senkrechte zur Geraden $g$. Man sagt auch: Die Geraden (oder Strecken oder Halbgeraden) sind rechtwinklig. ///Dass sich zwei Geraden, Strecken oder Halbgeraden im rechten Winkel kreuzen, markierst du in der Zeichnung so:

Kennzeichne einen der Winkel mit einem Punkt als rechten Winkel.
Oder schreibe in oder unter die Zeichnung:
$g \perp h$ Das sprichst du so: ,,Die Geraden $g$ und $h$ sind rechtwinklig.''

Fällt dir was auf? Wenn $h$ eine Senkrechte zu $g$ ist, ist immer auch $g$ eine Senkrechte zu $h$! ///Anders ausgedrückt: Wenn $h\perp g$ ist, dann ist immer auch $g\perp h$. ///Nein, der Winkel ist egal: Wenn zwei Geraden oder Strecken oder Halbgeraden rechtwinklig sind, sind automatisch alle vier Winkel, die am Schnittpunkt anliegen, rechte Winkel: setorigin x=40 y=25 alpha=-10; paint line x=-35 y=0 x2=35 y2=0 caption=g:-20 triangle; paint triangle id=tri x=0 y=0 rotate=-10 flyin; paint line x=0 y=-20 x2=0 y2=20 caption=h:10 pencil; delete id=tri flyout; paint latex x=5 y=15 value="g\perp h"; delay=2000; paint arc x=0 y=0 r=8 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=. fadein=north; paint arc x=0 y=0 r=7 alpha1=180 alpha2=90 angcaption=. fadein=north; paint arc x=0 y=0 r=8 alpha1=270 alpha2=180 angcaption=. fadein=south; paint arc x=0 y=0 r=6 alpha1=0 alpha2=-90 angcaption=. fadein=south; repeat button; Das Wort senkrecht hast du sicher schon gehört. ///Man sagt zum Beispiel: ,,Ein Stein fällt senkrecht herunter'', wenn er ganz genau nach unten fällt, also nicht schräg oder im Bogen. setorigin x=30 y=5; paint polygon id=pol x=0 y=0 points="0,0 2,-1 3,-1 3,1 2,2 1,2" fill=grey_light delay=50; paint rect x=-20 y=40 width=60 height=3 fill=grey_light color=none; paint line x=-20 y=40 x2=40; paint text x=-25 y=29 value=Boden color=red fadein=west; paint pointer x=-15 y=30 x2=-10 y2=40 color=red fadein=north; paint id=t1 text x=14 y=2 value=Stein color=red fadein=west; paint id=p1 pointer x2=4 y2=0.5 x=13 y=0.5 color=red fadein=east; paint delay=2000; transform id=pol mdy=37.8 transition=1s; paint pointer x=1.5 y=0 y2=40 thickness=3 fadein=north; delete id=p1; delete id=t1; paint delay=2000; paint id=t1 text x=14 y=21 value=Fallstrecke color=red fadein=west; paint id=p1 pointer x2=1.5 y2=20 x=13 y=20 color=red fadein=east; paint arc x=1.5 y=40 alpha1=90 alpha2=0 r=8 angcaption=. fadein=north; repeat button; Die Fallstrecke des Steins bildet dann mit dem (ebenen) Boden, auf den er fällt, einen rechten Winkel. Statt: //,,Die Geraden $g$ und $h$ sind rechtwinklig''
sagt man daher manchmal auch: //,,Die Geraden $g$ und $h$ sind senkrecht.'' ///Damit ist nicht gemeint, dass die Geraden senkrecht ,,nach unten'' verlaufen, sondern nur ,,senkrecht'' in Bezug auf die andere Gerade. Also rechtwinklig.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit dem Geodreieck?

Um eine Senkrechte zu einer Geraden (oder einer Strecke oder einer Halbgeraden) zu zeichnen, kannst du ein Geodreieck verwenden: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden $g$. setorigin x=30 y=28 alpha=10; paint line x=-20 x2=40 y=0 y2=0 caption=g:-10; write value="1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade."; paint triangle x=0 y=0 rotate=-170 flyin; wait delay=10000; write clear value="2. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks."; paint line x=0 y=20 x2=0 y2=-25 pencil caption=h:-90; wait delay=10000; delete triangle flyout; write clear value="3. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: $g\perp h$."; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=6 angcaption=. fadein=north; paint latex x=5 y=15 value="g\perp h"; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button;

Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen Punkt?

Oft soll die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen. Das machst du so: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden $g$ durch den Punkt $P$. setorigin x=30 y=28 alpha=10; paint line x=-20 x2=40 y=0 y2=0 caption=g:-10; paint cross x=0 y=-20 caption=P:-50; write value="1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade."; paint id=tri triangle x=0 y=0 mdx=20 rotate=-170 flyin; wait delay=10000; write clear value="2. Verschiebe das Geodreieck so, dass die lange Seite am Punkt anliegt."; write value="Wichtig: Die Mittellinie muss dabei auf der Geraden, Strecke oder Halbgeraden bleiben!"; transform id=tri mx=0 transition=2s; wait delay=10000; write clear value="3. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks durch den Punkt und die Gerade."; paint line x2=0 y2=20 x=0 y=-25 pencil caption=h:90; wait delay=10000; delete id=tri flyout; write clear value="4. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: $g\perp h$."; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=6 angcaption=. fadein=north; paint latex x=5 y=15 value="g\perp h"; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button;

Mittelsenkrechte

Eine besondere Senkrechte ist die Mittelsenkrechte: Eine Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte, die eine Strecke genau in der Mitte zwischen ihren beiden Endpunkten schneidet. setorigin x=40 y=20 alpha=5; paint cross x=-30 y=0 caption=A keep pencil; paint cross x=30 y=0 caption=B:20 pencil; paint line x=-30 y=0 x2=30 y2=0 caption=g:-20 triangle; paint triangle id=tri x=0 y=0 rotate=185 flyin; paint line cx=0 cy=0 length=35 alpha=-180 caption=h:10 pencil; delete id=tri flyout; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=6 angcaption=. fadein=north; paint cross x=0 y=0 caption=M:-45 pencil; repeat button; Der Punkt $M$ ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke. ///Weil die Mittelsenkrechte $h$ die Strecke $g$ genau in der Mitte schneidet, müssen die Strecken $\Bar{AM}$ und $\Bar{BM}$ gleich lang sein. Das schreibst du so: $|\Bar{AM}|=|\Bar{BM}|$ ///Sprich: ,,Die Länge der Strecke zwischen den Punkten $A$ und $M$ ist gleich der Länge der Strecke zwischen den Punkten $B$ und $M$.'' oder: ,,Die Strecke zwischen den Punkten $A$ und $M$ ist genauso lang wie die Strecke zwischen den Punkten $B$ und $M$.'' Eine Mittelsenkrechte kannst du mit dem Geodreieck zeichnen: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$. setorigin x=40 y=20 alpha=5; paint line x=-30 y=0 x2=30 y2=0; paint cross x=-30 y=0 caption=A; paint cross x=30 y=0 caption=B:20; paint delay=1000; write value="1. Miss mit dem Geodreieck oder einem Lineal die Länge der Strecke $\Bar{AB}$."; paint id=tri triangle x=0 y=0 mx=-30 rotate=-85 flyin; paint delay=1000; write value="Du misst: $|\Bar{AB}|=6\cm$"; wait delay=10000; write clear value="2. Berechne die Hälfte der gemessenen Länge."; paint delay=2000; write value="Die Hälfte der Länge der Strecke $\Bar{AB}$ ist $3\cm$."; wait delay=10000; write clear value="3. Zeichne auf die Strecke einen Punkt, der $3\cm$ (also die Hälfte der Länge der Strecke) von Punkt $A$ entfernt ist."; paint line x=0 y=0 alpha=0 length=1.5 pencil keep; delete id=tri flyout; paint cross x=0 y=0 caption=M:-40 pencil; paint delay=1000; write value="Der Punkt $M$ teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken."; wait delay=10000; write clear value="4. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Strecke und mit dem Nullpunkt auf Punkt $M$."; paint triangle id=tri x=0 y=0 rotate=185 flyin; wait delay=10000; write clear value="5. Zeichne nun die Senkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$ durch den Punkt $M$."; paint line x=0 y=-18 x2=0 y2=18 caption=g:10 pencil; delete id=tri flyout; wait delay=10000; write clear value="Die Gerade $g$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\Bar{AB}$."; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 r=6 alpha2=0 angcaption=. fadein=north; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button; Das eben beschriebenen Verfahren hat einen großen Nachteil: Es kann vieles schief gehen! ///Zum Beispiel kannst du

die Länge der Strecke falsch ablesen,
dich bei der Berechnung der Hälfte der Streckenlänge verrechnen oder
den Punkt $M$ falsch einzeichnen.

Auch bleibt an der Zeichnung unklar, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast. Einfacher und genauer geht das Zeichnen der Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$. setorigin x=40 y=30 alpha=5; paint line x=-30 y=0 x2=30 y2=0; paint cross x=-30 y=0 caption=A; paint cross x=30 y=0 caption=B:20; paint delay=1000; write value="1. Stich den Zirkel in Punkt $A$ und öffne ihn etwas über die Hälfte der Streckenlänge hinaus."; paint compass x=-30 y=0 r=35 rotate=135 flyin; wait delay=10000; write clear value="2. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt $A$."; paint arc id=arc1 x=-30 y=0 r=35 alpha1=130 alpha2=50 fadein=south compass keep; wait delay=10000; write clear value="3. Stich mit derselben Zirkelöffnung in Punkt $B$ und zeichne einen Kreisbogen um Punkt $B$."; transform id=compass mdx=60 rotate=-45 transition=1s; paint delay=2000; paint arc id=arc2 x=30 y=0 r=35 alpha2=-130 alpha1=-50 fadein=north compass; paint delay=2000; write value="Die beiden Kreisbögen kreuzen sich in zwei Punkten."; paint cross x=0 y=-18 pencil keep; paint cross x=0 y=18 pencil; transform id=arc1 opacity=0.2 transition=1s; transform id=arc2 opacity=0.2 transition=1s; wait delay=10000; write clear value="4. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen."; paint line cx=0 cy=0 length=55 alpha=180 caption=g:5 ruler; paint delay=1000; write value="Die Gerade $g$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\Bar{AB}$."; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button; An den gezeichneten Kreisbögen kann man schnell sehen, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast! Du solltest sie daher auf keinen Fall wegradieren! Was ist eigentlich das Besondere an einer Mittelsenkrechten? Außer, dass sie die Strecke offensichtlich in zwei gleich lange Teilstrecken teilt? Sieh dir die Animation an: setorigin x=40 y=30 alpha=5; paint line x=-30 y=0 x2=30 y2=0; paint cross x=-30 y=0 caption=A:220; paint cross x=30 y=0 caption=B:140; paint arc id=arc1 x=-30 y=0 r=35 alpha1=130 alpha2=50 opacity=0.2; paint arc id=arc2 x=30 y=0 r=35 alpha2=-130 alpha1=-50 opacity=0.2; paint line cx=0 cy=0 length=55 alpha=180 caption=g:5; paint xdelay=1000; paint id=cr cross x=0 y=-22 pencil color=red; paint id=arc arc x=0 y=-22 alpha1=255 color=red alpha2=105 r=37 circle fadein=west compass; paint id=cr cross x=0 y=-15 pencil color=blue; paint id=arc arc x=0 y=-15 alpha1=265 color=blue alpha2=95 r=33.5 circle fadein=west compass; paint id=cr cross x=0 y=-8 pencil color=purple; paint id=arc arc x=0 y=-8 alpha1=280 color=purple alpha2=80 r=31 circle fadein=west compass; paint id=cr cross x=0 y=0 pencil color=green; paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=290 color=green alpha2=70 r=30 circle fadein=west compass; repeat button; Für jeden der Punkte auf der Mittelsenkrechten $g$ liegen die Punkte $A$ und $B$ auf demselben Kreisbogen. $A$ und $B$ sind also von diesem Punkt gleich weit entfernt. ///Das gilt allgemein:

Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke ist von deren Endpunkten gleich weit entfernt.
Alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten einer Strecke haben, liegen auf der Mittelsenkrechten dieser Strecke.

Toll, was? Die Lösungen der folgenden beiden Aufgabenbeispiele kannst du dir eigentlich selbst herleiten.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit Zirkel und Lineal?

Oben hast du das bereits mit einem Geodreieck gemacht. Nun eben mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden. setorigin x=40 y=25 alpha=-5; paint line x=-35 y=0 x2=35 y2=0 caption=g:10; paint delay=1000; write value="1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf die Gerade."; paint cross x=-20 y=0 pencil keep; paint cross x=20 y=0 pencil; paint delay=1000; write value="Die Punkte ,,schneiden'' aus der Geraden eine Strecke aus. Nun zeichnen wir die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke."; wait delay=10000; write clear value="2. Stich den Zirkel in den ersten Punkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus."; paint compass x=-20 y=0 r=25 rotate=130 flyin; wait delay=10000; write clear value="3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt."; paint arc id=arc1 x=-20 y=0 r=25 alpha1=135 alpha2=45 fadein=south compass keep; wait delay=10000; write clear value="4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Punkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt."; transform id=compass mdx=40 rotate=-50 transition=1s; paint delay=1000; paint arc id=arc2 x=20 y=0 r=25 alpha2=-135 alpha1=-45 fadein=north compass; paint cross x=0 y=-15 pencil keep; paint cross x=0 y=15 pencil; transform id=arc1 opacity=0.2 transition=1s; transform id=arc2 opacity=0.2 transition=1s; wait delay=10000; write clear value="5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen."; paint line cx=0 cy=0 length=45 alpha=180 caption=h:0 ruler; paint delay=1000; write value="Die Gerade $h$ ist eine Senkrechte auf der Geraden $g$."; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button;

Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen gegebenen Punkt mit Zirkel und Lineal?

Auch das hast du schon mit einem Geodreieck gemacht. Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt. setorigin x=40 y=25 alpha=-5; paint line x=-35 y=0 x2=35 y2=0 caption=g:10; paint cross x=0 y=-18 caption=P:-40; paint delay=1000; write value="1. Stich den Zirkel in Punkt $P$ und zeichne um ihn einen Kreisbogen, der die Gerade $g$ in zwei Punkten kreuzt."; paint arc id=arc0 x=0 y=-18 r=25 alpha1=235 alpha2=125 fadein=west compass; paint cross x=-17.5 y=0 pencil keep; paint cross x=17.5 y=0 pencil; transform id=arc0 opacity=0.2 transition=1s; paint delay=1000; write value="Die beiden Schnittpunkte ,,schneiden'' aus der Geraden eine Strecke aus. Jetzt musst du nur noch die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke zeichnen."; wait delay=10000; write clear value="2. Stich den Zirkel in den ersten Schnittpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus."; paint compass x=-17.5 y=0 r=22 rotate=130 flyin; wait delay=10000; write clear value="3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt."; paint arc id=arc1 x=-17.5 y=0 r=22 alpha1=135 alpha2=45 fadein=south compass keep; wait delay=10000; write clear value="4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Schnittpunkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt."; transform id=compass mx=35 rotate=-50 transition=1s delay=1100; paint arc id=arc2 x=17.5 y=0 r=22 alpha2=-135 alpha1=-45 fadein=north compass; paint cross x=0 y=-13.3 pencil keep; paint cross x=0 y=13.3 pencil; transform id=arc1 opacity=0.2 transition=1s; transform id=arc2 opacity=0.2 transition=1s; wait delay=10000; write clear value="5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen."; paint line cx=0 cy=0 length=45 alpha=180 caption=h:95 ruler; paint delay=1000; write value="Die Gerade $h$ ist die Senkrechte auf der Geraden $g$ durch Punkt $P$."; wait delay=10000 button="Alles anzeigen!"; write all; repeat button; Die Konstruktion von Mittelsenkrechten nur mit Zirkel und Lineal erscheint dir vielleicht recht kompliziert zu sein. Aber sie hat zwei wesentliche Vorteile:

Sie ist nicht anfällig für Messfehler.
Anhand der Zeichnung kann man erkennen, was für eine Gerade du gezeichnet hast.

Übe daher gut die Konstruktion von Senkrechten und Mittelsenkrechten (und in anderen Lerneinheiten auch von anderen Objekten) nur mit Zirkel und Lineal! Konstruktionen von geometrischen Objekten nur mit Zirkel und Lineal heißen Grundkonstruktionen. $_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;;; ;;;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Wie groß ist Winkel $\alpha$? setorigin x=45 y=15 alpha=5; paint line x=-40 y=0 x2=30 y2=0; paint line x=0 y=-12 x2=0 y2=13; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=.; paint arc x=0 y=0 alpha1=270 alpha2=180 r=7 angcaption=\alpha; /// $\text{unbekannt}$ $45\circ$ $90\circ$ $180\circ$ #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Alle Punkte auf jeder Senkrechten zu einer Strecke sind von den Endpunkten dieser Strecke gleich weit entfernt."; text="Eine Senkrechte zu einer Strecke schneidet diese Strecke im rechten Winkel." correct; text="Eine Senkrechte ist eine Gerade." correct; text="Zu einer Strecke gibt es genau eine Senkrechte."; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

In welchen zwei Bildern wurde eine Mittelsenkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$ gezeichnet? Klicke sie an: /// setorigin x=25 y=18 alpha=5; paint cross x=-20 y=0 caption=A; paint cross x=20 y=0 caption=B:20; paint line x=-20 y=0 x2=20 y2=0; paint line x=-1 y=-17 x2=-1 y2=17 color=red; paint triangle x=-1 y=0 rotate=185; setorigin x=25 y=18 alpha=5; paint cross x=-20 y=0 caption=A; paint cross x=20 y=0 caption=B:20; paint cross x=0 y=0 caption=C:-45; paint line x=-20 y=0 x2=20 y2=0; paint line x=0 y=-15 x2=0 y2=15 color=red; paint arc x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=5 angcaption=.; paint latex x=3 y=10 value="|AC|=|BC|"; setorigin x=25 y=18 alpha=-5; paint cross x=-20 y=0 caption=A; paint cross x=20 y=0 caption=B:20; paint line x=-20 y=0 x2=20 y2=0; paint line x=0 y=-17 x2=0 y2=17 color=red; paint arc x=-20 y=0 alpha1=130 alpha2=50 r=23; paint arc x=20 y=0 alpha1=310 alpha2=230 r=23; setorigin x=25 y=18 alpha=0; paint cross x=-20 y=0 caption=A; paint cross x=20 y=0 caption=B:20; paint line x=-20 y=0 x2=20 y2=0; paint line x=8.5 y=-17 x2=8.5 y2=17 color=red; paint arc x=-20 y=0 alpha1=120 alpha2=60 r=30; paint arc x=20 y=0 alpha1=320 alpha2=220 r=15; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an! text="Eine Mittelsenkrechte zu einer Strecke schneidet diese Strecke im rechten Winkel." correct; text="Zu einer Strecke gibt es genau eine Mittelsenkrechte." correct; text="Zu einer Geraden gibt es genau eine Mittelsenkrechte."; text="Alle Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechte dieser Strecke." correct;

Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).

Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen, verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten. Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.

Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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Lernen Vertiefen Profi

5. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Was sind natürliche Zahlen? Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl Natürliche Zahlen darstellen Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen Stellenwerttafel für natürliche Zahlen Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Addition von natürlichen Zahlen Schriftliche Addition Subtraktion von natürlichen Zahlen Schriftliche Subtraktion Multiplikation von natürlichen Zahlen Schriftliche Multiplikation (1) Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Division von natürlichen Zahlen Schriftliche Division (1) Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen

Größen und Messen

Noch keine Inhalte vorhanden

Raum und Form

Grundlagen

Was ist Geometrie? Punktabstände und Streckenlängen messen Punktabstände und Streckenlängen abzählen Geraden und Halbgeraden Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Figuren auf Karopapier verschieben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen

6. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Potenzen Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25 Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2) Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Terme

Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks

Größen und Messen

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Raum und Form

Grundlagen

Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren auf Karopapier verschieben Figuren mit dem Geodreieck verschieben Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

7. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Potenzen Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen

Brüche

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind gemischte Zahlen? Umwandeln unechter Brüche in gemischte Zahlen Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Multiplikation und Division von gemischten Zahlen Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen

Terme

Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

Figuren drehen

Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Einfache Sachverhalte entnehmen Werte im Koordinatensystem darstellen Koordinaten von Punkten ablesen Was ist eine Zuordnung/Funktion? Arten von funktionalen Zusammenhängen erkunden Proportionale Zuordnungen Antiproportionale Zuordnungen Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (1) Zusämmenhänge Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen Einfache Dreisatzrechnung Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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8. Klasse

Zahlen und Rechnen

Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Terme

Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen Äquivalenz von Gleichungen Äquivalenzumformung von Gleichungen Gleichungen lösen (1) Gleichungen lösen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Wahrscheinlichkeiten

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9. Klasse

Zahlen und Rechnen

Noch keine Inhalte vorhanden

Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen Quadratwurzeln einfacher Zahlen berechnen Was sind Kubikwurzeln? Kubikwurzeln näherungsweise berechnen Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit Binomische Formeln Quadratische Ergänzung

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Darstellungsarten funktionaler Zusammenhänge vergleichen (2) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren

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10. Klasse

Zahlen und Rechnen

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Was ist eine Exponentialgleichung? Potenzen mit rationalen Exponenten Rechengesetze für Potenzen Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen lösen Was ist ein Logarithmus? Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung Zinseszinsrechnung mit Formeln Tilgung, Sparrate, Laufzeit

Raum und Form

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Gleichungen und Funktionen

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Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Was ist eine Potenzfunktion? Potenzfunktionen lösen Graphen der Potenzfunktion $f(x)=x^n$ skizzieren Wurzelfunktion und ihre Definitions- und Wertemenge Parametern in Funktionstermen von Potenzfunktion deuten Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben Graphen von Exponentialfunktionen skizzieren Parameter in Exponential- und Wurzelfunktionen deuten Was ist ein Logarithmus? Exponentielle Gleichungen mit Logarithmen lösen Trigonometrische Zusammenhänge Periodische Vorgänge visualisieren und interpretieren Was sind ganzrationale Funktionen oder Polynome? Mittlere lokale Änderungsraten interpretieren Wachstumsvorgänge deuten Steigungsverhalten von Funktionen beschreiben Grenzwertbegriff im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen Was ist eine Ableitung einer ganzrationalen Funktion? Ableitung berechnen Ableitungsfunktionen durch graphisches Differenzieren ermitteln Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmen Extremstellen, Wendestellen, Symmetrie und Asymptoten

Wahrscheinlichkeiten

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Für Lehrerinnen und Lehrer

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!

Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“ erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken, Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.

Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.

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Datenschutzerklärung

1. Allgemeines zur Datenverarbeitung

1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten

Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist. Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin. Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.

1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten

Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage. Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage. Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.

1.3 Datenlöschung und Speicherdauer

Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt. Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde. Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.

2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles

2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.

Folgende Daten werden hierbei erhoben:

IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde

Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.

2.2 Zweck der Datenverarbeitung

Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen. Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.

Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen. Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme. In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO. Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.

2.3 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist. Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall. Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.

2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich. Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

3. Verwendung von Cookies

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4. Kontaktformular

4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

Betreff (optional)
E-Mail-Adresse des Absenders/der Absenderin (optional)
Text der Nachricht

Im Zeitpunkt der Absendung der Nachricht werden zudem folgende Daten gespeichert:

Datum und Uhrzeit des Absendens

Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.

Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.

4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung

Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.

4.3 Zweck der Datenverarbeitung

Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.

4.4 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist. Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.

4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen. Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden. Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.

5. Feedbackformulare

5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert. Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.

5.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

6. Formular zum Mailen von Lerncodes

6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

E-Mail-Adresse
Lerncode

6.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.