Hier lernst du: was Teilbarkeit bedeutet und wie du feststellst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl teilbar ist.
Teilbarkeit
Du hast eine Tüte mit genau 25 Lollis. Kannst du die Lollis so mit zwei Freunden oder Freundinnen teilen, dass jede und jeder gleich viele Lollis bekommt?
was Teilbarkeit bedeutet und
wie du feststellst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl teilbar ist.
Noch einmal: Kannst du die Lollis mit zwei Freunden oder Freundinnen so teilen, dass alle gleich viele Lollis bekommen?
So kannst du vorgehen:
Sortiere die Lollis reihum in drei Haufen. Ein Lolli bleibt übrig. Egal, wem du diesen letzten Lolli geben würdest __ ihr hättet dann nicht mehr gleich viele!
25 Lollis sind also nicht "ohne Rest" auf 3 Kinder aufteilbar.
Aber kannst du das auch anders herausfinden? Ohne erst die Lollis verteilen zu müssen? Denn wenn du sehr, sehr viele Lollis hättest, wäre dieses Verfahren schließlich kaum noch umsetzbar.
Du weißt, dass die Anzahl der Lollis eine natürliche Zahl ist, genau wie die Anzahl der Kinder.
Das "Lolli-Aufteilungs-Problem" kannst du daher mathematisch als Division einer natürlichen Zahl durch eine andere natürliche Zahl betrachten (modellieren).
Ob eine natürliche Zahl durch eine (andere) natürliche Zahl teilbar ist, können wir folgendermaßen festlegen:
Eine natürliche Zahl heißt teilbar durch eine (andere) natürliche Zahl, wenn sie sich durch diese zweite Zahl ohne Rest dividieren ("teilen") lässt.Die Teilbarkeit zweier natürlicher Zahlen schreibst du mit einem senkrechten Strich zwischen ihnen, zum Beispiel:
12\mid3
480\mid6
1\sep000\ \mid\ 10\
Das kannst du auf verschiedene Weise lesen (Achte auf die Reihenfolge der Zahlen!):
"12 ist teilbar durch 3"
"6 ist Teiler von 480"
"10 teilt 1.000"
Bei Nicht-Teilbarkeit streichst du den senkrechten Strich durch:
25\nmid3, "25 ist nicht teilbar durch 3", oder "3 teilt 25 nicht", oder "3 ist kein Teiler von 25"
Und weil 25\nmid3, kannst du 25 Lollis nicht ohne Rest auf drei Kinder aufteilen.
Wie du die Teilbarkeit zwischen zwei Zahlen feststellen kannst, hast du ja schon gesehen:
Um Teilbarkeit festzustellen: Prüfe, ob du die erste Zahl durch die zweite Zahl ohne Rest dividieren kannst.
Ist das möglich, dann ist die erste Zahl teilbar durch die zweite Zahl. Ist das nicht möglich, ist sie nicht teilbar.
Untersuchen wir mal, durch welche Zahlen die Zahl 12 teilbar ist:
12 lässt sich durch 1 natürlich ohne Rest teilen, also: "12 ist teilbar durch 1". (Der Doppelpfeil \Rightarrow bedeutet: "also".) 12 lässt sich durch 2 ohne Rest teilen, also: "12 ist teilbar durch 2". Das gilt auch für 3 ... Das gilt auch für 3 und 4. 12 lässt sich durch 5 nicht ohne Rest teilen, also: "12 ist nicht teilbar durch 5". 12 lässt sich durch 6 wieder ohne Rest teilen, also: "12 ist teilbar durch 6". 12 lässt sich durch 7 nicht ohne Rest teilen, also: "12 ist nicht teilbar durch 7". Das gilt auch für 8 ... Das gilt auch für 8, 9 ... Das gilt auch für 8, 9, 10 ... Das gilt auch für 8, 9, 10 und 11. 12 lässt sich durch sich selbst natürlich ohne Rest teilen, also: "12 ist teilbar durch 12".
Eine natürliche Zahl ...
kann viele Teiler haben.
hat immer die 1 als Teiler.
hat immer sich selbst als Teiler.
Jede natürliche Zahl hat also mindestens 2 Teiler __ bis auf die Zahl 1, die hat nur sich selbst als Teiler.
Außerdem können nur Zahlen kleiner oder gleich der Hälfte einer Zahl ein Teiler von ihr sein (und die Zahl selbst natürlich).
Die Division ist die Umkehrfunktion der Multiplikation. Also kann man Teilbarkeit auch so festlegen:
Zwei natürliche Zahlen sind jeweils Teiler ihres Produkts.
Das Produkt von 1 und 12 ist 12, also: 1 ist Teiler von 12. 1 ist Teiler von 12, und 12 ist Teiler von 12. Das Produkt von 2 und 6 ist 12, also: 2 ist Teiler von 12. 2 ist Teiler von 12, und 6 ist Teiler von 12. Das Produkt von 3 und 4 ist 12, also: 3 ist Teiler von 12. 3 ist Teiler von 12, und 4 ist Teiler von 12.
Um zu untersuchen, ob eine natürliche Zahl teilbar durch eine zweite natürliche Zahl ist, kannst du auch so vorgehen:
Prüfe, ob du die erste Zahl als Produkt der zweiten Zahl mit einer weiteren natürlichen Zahl darstellen kannst.
Wenn es eine solche natürliche Zahl gibt, dann ist die erste Zahl durch die zweite Zahl teilbar.
Aufgabe: Ist 21 teilbar durch 7? Lösungsweg: Suche nach einer natürlichen Zahl, sodass 21 das Produkt von 7 und dieser natürlichen Zahl ist.
Mit der 3 ist das möglich, denn 7⋅3=21. Weil die 3 eine natürliche Zahl ist, ist 21 durch 7 teilbar.
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Beim Zählen verwendet man natürliche Zahlen." correct;
text="Beim Zählen kommt es auf die Reihenfolge der Dinge an, in der du sie zählst.";
text="Eine natürliche Zahl kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen." correct;
text="Das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen ist $\N$." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne schriftlich. Schreibe auch alle Zwischenrechnungen auf.
///
2
5
:
3
=
Rest:
-
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Noch einmal: Kannst du die Lollis mit zwei Freunden oder Freundinnen so teilen, dass alle gleich viele Lollis bekommen?
///So kannst du vorgehen:
//paint mmpaper;
//set animate=false;
paint id=l01 lolli x=10 y=10 rotate=random;
paint id=l02 lolli x=13 y=6 rotate=random;
paint id=l03 lolli x=17 y=7 rotate=random;
paint id=l04 lolli x=20 y=4 rotate=random;
paint id=l05 lolli x=24 y=9 rotate=random;
paint id=l06 lolli x=29 y=12 rotate=random;
paint id=l07 lolli x=32 y=14 rotate=random;
paint id=l08 lolli x=33 y=14 rotate=random;
paint id=l09 lolli x=37 y=10 rotate=random;
paint id=l10 lolli x=40 y=8 rotate=random;
paint id=l11 lolli x=43 y=11 rotate=random;
paint id=l12 lolli x=45 y=14 rotate=random;
paint id=l13 lolli x=49 y=7 rotate=random;
paint id=l14 lolli x=52 y=10 rotate=random;
paint id=l15 lolli x=55 y=9 rotate=random;
paint id=l16 lolli x=58 y=13 rotate=random;
paint id=l17 lolli x=61 y=11 rotate=random;
paint id=l18 lolli x=64 y=8 rotate=random;
paint id=l19 lolli x=68 y=9 rotate=random;
paint id=l20 lolli x=70 y=11 rotate=random;
paint id=l21 lolli x=72 y=8 rotate=random;
paint id=l22 lolli x=75 y=12 rotate=random;
paint id=l23 lolli x=79 y=10 rotate=random;
paint id=l24 lolli x=80 y=12 rotate=random;
paint id=l25 lolli x=83 y=11 rotate=random;
write value="Sortiere die Lollis reihum in drei Haufen.";
delay=1000;
transform id=l01 mdy=30 mdx=0 delay=1000 drotate=50;
transform id=l02 mdy=30 mdx=33 delay=1000 drotate=-30;
transform id=l03 mdy=30 mdx=60 delay=1000 drotate=90;
transform id=l04 mdy=40 mdx=-7 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l05 mdy=30 mdx=27 delay=1000 drotate=20;
transform id=l06 mdy=30 mdx=50 delay=1000 drotate=-40;
transform id=l07 mdy=30 mdx=-20 delay=1000 drotate=40;
transform id=l08 mdy=30 mdx=7 delay=1000 drotate=20;
transform id=l09 mdy=34 mdx=33 delay=1000 drotate=-30;
transform id=l10 mdy=35 mdx=-25 delay=1000 drotate=50;
transform id=l11 mdy=30 mdx=5 delay=1000 drotate=0;
transform id=l12 mdy=30 mdx=30 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l13 mdy=30 mdx=-35 delay=1000 drotate=-40;
transform id=l14 mdy=30 mdx=-10 delay=1000 drotate=20;
transform id=l15 mdy=30 mdx=15 delay=1000 drotate=10;
transform id=l16 mdy=30 mdx=-38 delay=1000 drotate=30;
transform id=l17 mdy=30 mdx=-10 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l18 mdy=30 mdx=15 delay=1000 drotate=50;
transform id=l19 mdy=30 mdx=-55 delay=1000 drotate=20;
transform id=l20 mdy=30 mdx=-30 delay=1000 drotate=-30;
transform id=l21 mdy=30 mdx=0 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l22 mdy=30 mdx=-60 delay=1000 drotate=40;
transform id=l23 mdy=30 mdx=-35 delay=1000 drotate=10;
transform id=l24 mdy=30 mdx=0 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l25 mdy=0 mdx=0 delay=1000 drotate=0;
delay=2000;
write value="Ein Lolli bleibt übrig. Egal, wem du diesen letzten Lolli geben würdest __ ihr hättet dann nicht mehr gleich viele!";
repeat button;
25 Lollis sind also nicht ,,ohne Rest'' auf 3 Kinder aufteilbar.
Aber kannst du das auch anders herausfinden? Ohne erst die Lollis verteilen zu müssen?
Denn wenn du sehr, sehr viele Lollis hättest, wäre dieses Verfahren schließlich kaum noch umsetzbar.
Du weißt, dass die Anzahl der Lollis eine natürliche Zahl ist, genau wie die Anzahl der Kinder.
///
Das ,,Lolli-Aufteilungs-Problem'' kannst du daher mathematisch als Division
einer natürlichen Zahl durch eine andere natürliche Zahl betrachten (modellieren).
Ob eine natürliche Zahl durch eine (andere) natürliche Zahl teilbar ist, können wir folgendermaßen festlegen:
Eine natürliche Zahl heißt teilbar durch eine (andere) natürliche Zahl,
wenn sie sich durch diese zweite Zahl ohne Rest dividieren (,,teilen'') lässt.
//paint mmpaper;
//set animate=false;
paint id=l01 lolli x=10 y=10 rotate=random;
paint id=l02 lolli x=13 y=6 rotate=random;
paint id=l03 lolli x=17 y=7 rotate=random;
paint id=l04 lolli x=20 y=4 rotate=random;
paint id=l05 lolli x=24 y=9 rotate=random;
paint id=l06 lolli x=29 y=12 rotate=random;
paint id=l07 lolli x=32 y=14 rotate=random;
paint id=l08 lolli x=33 y=14 rotate=random;
paint id=l09 lolli x=37 y=10 rotate=random;
paint id=l10 lolli x=40 y=8 rotate=random;
paint id=l11 lolli x=43 y=11 rotate=random;
paint id=l12 lolli x=45 y=14 rotate=random;
delay=1000;
transform id=l01 mdy=25 mdx=0 delay=1000 drotate=50;
transform id=l02 mdy=25 mdx=33 delay=1000 drotate=-30;
transform id=l03 mdy=25 mdx=60 delay=1000 drotate=90;
transform id=l04 mdy=30 mdx=-7 delay=1000 drotate=-20;
transform id=l05 mdy=25 mdx=27 delay=1000 drotate=20;
transform id=l06 mdy=25 mdx=50 delay=1000 drotate=-40;
transform id=l07 mdy=25 mdx=-20 delay=1000 drotate=40;
transform id=l08 mdy=25 mdx=7 delay=1000 drotate=20;
transform id=l09 mdy=29 mdx=33 delay=1000 drotate=-30;
transform id=l10 mdy=30 mdx=-25 delay=1000 drotate=50;
transform id=l11 mdy=25 mdx=5 delay=1000 drotate=0;
transform id=l12 mdy=25 mdx=30 delay=1000 drotate=-20;
delay=3000
paint id=l1 latex x=23 y=15 value="12:3=4" opacin delay=1500;
paint id=l2 latex x=23 y=15 value="12:3=4\text{, also: }" opacin delay=1500; delete id=l1;
paint id=l3 latex x=23 y=15 value="12:3=4\text{, also: }12\mid3" opacin; delete id=l2;
repeat button;
Die Teilbarkeit zweier natürlicher Zahlen schreibst du mit einem senkrechten Strich zwischen ihnen, zum Beispiel:
$\style[bold]{12\mid3}$
$\style[bold]{480\mid6}$
$\style[bold]{1\sep000\ \mid\ 10\ }$
Das kannst du auf verschiedene Weise lesen (Achte auf die Reihenfolge der Zahlen!):
,,12 ist teilbar durch 3''
,,6 ist Teiler von 480''
,,10 teilt 1.000''
Bei Nicht-Teilbarkeit streichst du den senkrechten Strich durch:
$\style[bold]{25\nmid3}$, ,,25 ist nicht teilbar durch 3'',
oder ,,3 teilt 25 nicht'',
oder ,,3 ist kein Teiler von 25''
Und weil $25\nmid3$, kannst du 25 Lollis nicht ohne Rest auf drei Kinder aufteilen.
Wie du die Teilbarkeit zwischen zwei Zahlen feststellen kannst, hast du ja schon gesehen:
Um Teilbarkeit festzustellen:
///Prüfe, ob du die erste Zahl durch die zweite Zahl ohne Rest dividieren kannst.
///Ist das möglich, dann ist die erste Zahl teilbar durch die zweite Zahl.
Ist das nicht möglich, ist sie nicht teilbar.
Untersuchen wir mal, durch welche Zahlen die Zahl 12 teilbar ist:
//set animate=false;
paint quadpaper;
paint gridtext x=10 y=10 value="12:1=12" fadein=west;
write value="12 lässt sich durch 1 natürlich ohne Rest teilen, also: ,,12 ist teilbar durch/_1''." delay=1500;
paint latex x=60 y=7.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow";
write value="(Der Doppelpfeil $\Rightarrow$ bedeutet: ,,also''.)";
paint gridtext x=65 y=10 value="12 1" fadein=west;
paint line x=77.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
delay=4000;
paint gridtext x=10 y=15 value="12:2=6" fadein=west;
write clear value="12 lässt sich durch 2 ohne Rest teilen, also: ,,12 ist teilbar durch/_2''." delay=1500;
paint latex x=60 y=12.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=15 value="12 2" fadein=west;
paint line x=77.5 y=10.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=10 y=20 value="12:3=4" fadein=west;
write clear value="Das gilt auch für 3 ...";
paint latex x=60 y=17.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=20 value="12 3" fadein=west;
paint line x=77.5 y=15.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=10 y=25 value="12:4=3" fadein=west;
write clear nofadein value="Das gilt auch für 3 und 4.";
paint latex x=60 y=22.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=25 value="12 4" fadein=west;
paint line x=77.5 y=20.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=10 y=30 value="12:5=2" fadein=west;
write clear value="12 lässt sich durch 5 nicht ohne Rest teilen, also: ,,12 ist nicht teilbar durch/_5''.";
paint text x=40 y=27.6 valign=middle value="Rest 2" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=27.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=30 value="12 5" fadein=west;
paint line x=77.5 y=25.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=26.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=10 y=35 value="12:6=2" fadein=west;
write clear value="12 lässt sich durch 6 wieder ohne Rest teilen, also: ,,12 ist teilbar durch/_6''." delay=1500;
paint latex x=60 y=32.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=35 value="12 6" fadein=west;
paint line x=77.5 y=30.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=10 y=40 value="12:7=1" fadein=west;
write clear value="12 lässt sich durch 7 nicht ohne Rest teilen, also: ,,12 ist nicht teilbar durch/_7''.";
paint text x=40 y=37.6 valign=middle value="Rest 5" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=37.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=40 value="12 7" fadein=west;
paint line x=77.5 y=35.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=36.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=10 y=45 value="12:8=1" fadein=west;
write clear value="Das gilt auch für 8 ...";
paint text x=40 y=42.6 valign=middle value="Rest 4" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=42.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=45 value="12 8" fadein=west;
paint line x=77.5 y=40.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=41.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=10 y=50 value="12:9=1" fadein=west;
write clear nofadein value="Das gilt auch für 8, 9 ...";
paint text x=40 y=47.6 valign=middle value="Rest 3" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=47.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=50 value="12 9" fadein=west;
paint line x=77.5 y=45.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=46.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=5 y=55 value="12:10=1" fadein=west;
write clear nofadein value="Das gilt auch für 8, 9, 10 ...";
paint text x=40 y=52.6 valign=middle value="Rest 2" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=52.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=55 value="12 10" fadein=west;
paint line x=77.5 y=50.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=51.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=5 y=60 value="12:11=1" fadein=west;
write clear nofadein value="Das gilt auch für 8, 9, 10 und 11.";
paint text x=40 y=57.6 valign=middle value="Rest 1" color=red fadein=west delay=1000;
paint latex x=60 y=57.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=60 value="12 11" fadein=west;
paint line x=77.5 y=55.5 alpha=180 length=4 pencil color=red keep;
paint line x=78.5 y=56.5 alpha=225 length=3 color=red pencil;
paint gridtext x=5 y=65 value="12:12=1" fadein=west;
write clear value="12 lässt sich durch sich selbst natürlich ohne Rest teilen, also: ,,12 ist teilbar durch/_12''." delay=1500;
paint latex x=60 y=62.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow" delay=1500;
paint gridtext x=65 y=65 value="12 12" fadein=west;
paint line x=77.5 y=60.5 alpha=180 length=4 pencil;
repeat button;
///Eine natürliche Zahl ...
kann viele Teiler haben.
hat immer die 1 als Teiler.
hat immer sich selbst als Teiler.
Jede natürliche Zahl hat also mindestens 2 Teiler __ bis auf die Zahl 1, die hat nur sich selbst als Teiler.
///Außerdem können nur Zahlen kleiner oder gleich der Hälfte einer Zahl
ein Teiler von ihr sein (und die Zahl selbst natürlich).
Die Division ist die Umkehrfunktion der Multiplikation. Also kann man Teilbarkeit auch so festlegen:
Zwei natürliche Zahlen sind jeweils Teiler ihres Produkts.
paint quadpaper;
//set animate=false;
set originx=5;
paint gridtext x=0 y=10 color=red value="1" fadein=west; paint ndot x=7.5 y=7.5 r=0.2;
paint gridtext x=10 y=10 color=green value="12" fadein=west; paint gridtext x=20 y=10 value="=12" fadein=west;
write clear clear value="Das Produkt von 1 und 12 ist 12, also:";
paint latex x=40 y=7.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow";
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear value="1 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="1" fadein=west color=red;
set originy=5;
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear nofadein value="1 ist Teiler von 12, und 12 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="12" fadein=west color=green;
delay=3000;
set originy=15;
paint gridtext x=5 y=10 color=red value="2" fadein=west; paint ndot x=12.5 y=7.5 r=0.2;
paint gridtext x=15 y=10 color=green value="6" fadein=west; paint gridtext x=20 y=10 value="=12" fadein=west;
write clear clear value="Das Produkt von 2 und 6 ist 12, also:";
paint latex x=40 y=7.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow";
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear value="2 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="2" fadein=west color=red;
set originy=20;
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear nofadein value="2 ist Teiler von 12, und 6 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="6" fadein=west color=green;
delay=3000;
set originy=30;
paint gridtext x=5 y=10 color=red value="3" fadein=west; paint ndot x=12.5 y=7.5 r=0.2;
paint gridtext x=15 y=10 color=green value="4" fadein=west; paint gridtext x=20 y=10 value="=12" fadein=west;
write clear clear value="Das Produkt von 3 und 4 ist 12, also:";
paint latex x=40 y=7.5 align=center valign=middle value="\Rightarrow";
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear value="3 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="3" fadein=west color=red;
set originy=35;
paint gridtext x=45 y=10 value="12" fadein=west;
write softclear nofadein value="3 ist Teiler von 12, und 4 ist Teiler von 12.";
paint line x=57.5 y=5.5 alpha=180 length=4 pencil;
paint gridtext x=60 y=10 value="4" fadein=west color=green;
repeat button;
Um zu untersuchen, ob eine natürliche Zahl teilbar durch eine zweite natürliche Zahl ist,
kannst du auch so vorgehen:
///
Prüfe, ob du die erste Zahl als Produkt der zweiten Zahl mit einer weiteren natürlichen Zahl darstellen kannst.
///
Wenn es eine solche natürliche Zahl gibt, dann ist die erste Zahl durch die zweite Zahl teilbar.
Aufgabe: Ist 21 teilbar durch 7?
///
Lösungsweg: Suche nach einer natürlichen Zahl, sodass 21 das Produkt von 7 und dieser natürlichen Zahl ist.
///
Mit der 3 ist das möglich, denn $7\cdot3=21$. Weil die 3 eine natürliche Zahl ist, ist 21 durch 7 teilbar.
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;;
;;
$_teilbarkeit_3_complete =
($_page.inputs.teilbarkeit_3_1 != "") .and.
($_page.inputs.teilbarkeit_3_2 != "") .and.
($_page.inputs.teilbarkeit_3_3 != "") .and.
true;
$_teilbarkeit_3_correct =
(([1,2,4,5,10,20]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_1)) .gt. -1) .and.
(([2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_2)) .gt. -1) .and.
(([1,17]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_3)) .gt. -1) .and.
true;
;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch?
///
Zwei natürliche Zahlen ...
text="... sind jeweils Teiler ihrer Summe.";
text="... sind jeweils Teiler ihres Produkts." correct;
text="... sind immer Teiler voneinander.";
text="... haben beide immer die 1 als Teiler." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Aussagen sind richtig?
$100\mid25$
$9\mid2$
$193\mid193$
$1000\nmid999$
$10\mid5$
$5\mid10$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Ergänze die Aussagen. Oft sind auch mehrere Antworten möglich:
///
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$\mid$
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Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
Mein Lernplan
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Du kannst den Lehrplan mit dem Lerncode
oder mit dem Link https://www.matheklaro.de/ jederzeit wieder laden.
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Für Lehrerinnen und Lehrer
Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!
Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen
aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen
Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken,
Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.
Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.
Ihre Lernthemen-Auswahl:
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Wählen Sie mindestens ein Lernthema aus!
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
D-22763 Hamburg
Tel. +49 40 22854429
Umsatzsteuer-ID
DE221877798
Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
Hohenzollernring 31
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1. Allgemeines zur Datenverarbeitung
1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten
Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist.
Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin.
Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.
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Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage.
Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage.
Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.
1.3 Datenlöschung und Speicherdauer
Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt.
Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde.
Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.
2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles
2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.
Folgende Daten werden hierbei erhoben:
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2.2 Zweck der Datenverarbeitung
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Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.
Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen.
Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme.
In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.
2.3 Dauer der Speicherung
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Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist.
Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall.
Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.
2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
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4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung
Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.
4.3 Zweck der Datenverarbeitung
Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.
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Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist.
Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.
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Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen.
Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden.
Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.
5. Feedbackformulare
5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert.
Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.
5.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
6. Formular zum Mailen von Lerncodes
6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
E-Mail-Adresse
Lerncode
6.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.