Doch, wirst du! Mit ein paar Tricks ist das nämlich ganz einfach! Wie so ziemlich alles in Mathe. (Kleiner Scherz ...)
eine kürzere Schreibweise von Termen mit Variablen kennen und
wie du Terme mit Variablen einfacher und schneller umformst und
wie du bei der Termumformung mit Minuszeichen arbeitest.
Fangen wir mit ein paar praktischen Regeln an. Sie machen dir das Schreiben und Lesen von Termen leichter:
Werden in einem Term Zahlen und Variablen miteinander multipliziert, schreibe diese Faktoren in folgender Reihenfolge:
zuerst die Zahl oder die Zahlen,
dann die Variable und
unterschiedliche Variablen in alphabetischer Reihenfolge.
Schreibe also
4⋅ xstatt: x⋅ 4
2⋅5⋅ ystatt: 2⋅ y⋅5
a⋅ bstatt: b⋅ a
2⋅ x⋅ ystatt: 2⋅ y⋅ x oder x⋅ y⋅ 2
Die nächste Regel darfst du nur anwenden, wenn der Term dennoch eindeutig bleibt:
Den Mal-Punkt (oder Mal-Operator) ⋅ kannst du
vor Variablen und
vor oder nach einer Klammer
weglassen.
Schreibe also:
4xstatt: 4⋅ x
3abstatt: 3⋅ a⋅ b
x(4+y)statt: x⋅ (4+y)
(a+3)bstatt: (a+3)⋅ b
(a+3)(a+4)statt: (a+3)⋅(a+4)
Das liest du so:
"Vier x" (statt: "Vier mal x")
"Drei a b" (statt: "Drei mal a mal b")
Aber: Bei Klammern musst du den weggelassenen Mal-Operator "mitlesen"!
Du musst den Mal-Punkt nicht weglassen! Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser den Malpunkt.
Der folgende Tipp ist immer dann hilfreich, wenn du mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen willst:
Eine Termumformung kannst du abkürzen, indem du
Faktoren mit Variablen immer gleich in die "richtige" Reihenfolge bringst und
statt einer Multiplikation von mehreren Zahlen gleich ihr Produkt aufschreibst.
Die Rechenschritte, die du dabei "überspringst" (meist Kommutativgesetz und Multiplikation), musst du nicht unbedingt aufschreiben.
Um Terme zusammenzufassen, nutze den "Bleistiftrechner":
1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit genau einer Variablen als Faktor (also hier mit der Variablen a). Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor a. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem a errechnet. Schreibe sie mit dem Faktor a als Teilergebnis auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Teilterme mit der zweiten Variablen zusammen (also hier mit der Variablen b). 5. Jetzt hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem b errechnet. Addiere sie mit dem Faktor b zum bisherigen Ergebnisterm. 6. Gehe wieder zurück zum ersten Teilterm und addiere alle reinen Zahlterme. 7. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.
Mit diesem Tipp ist die Vereinfachung des Terms vom Anfang jetzt ganz leicht:
Aufgabe: Vereinfache den Term
2+x⋅6+4⋅(3+x)+6
so weit wie möglich. Lösung:
Auch das konntest du wieder mithilfe des "Bleistiftrechners" machen:
1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit dem Faktor x. Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor x. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem x errechnet. Schreibe sie mit x als Faktor auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Zahlterme zusammen. 5. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.
Bisher kamen in allen Termen nur Additionen vor. Aber können Variablen auch in Termen mit Subtraktionen vorkommen?
Ja, klar!
Du erinnerst dich sicher an folgende Rechenregel:
Eine Subtraktion kannst du in eine Addition mit der Gegenzahl umformen:
\blacksquare9-5 \blacksquare9-5| als Addition =9+(-5) \, \blacksquare15-27 \blacksquare15-27| als Addition =15+(-27) \, \blacksquare3-(-4) \blacksquare3-(-4)| als Addition =3+4 \, \blacksquare200-0 \blacksquare200-0| als Addition =200+(-0)
Außerdem:
Die Gegenzahl einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit -1 multiplizierst:
Für die Umformung einer Subtraktion in eine Addition folgt damit:
\blacksquare9-5 \blacksquare9-5| als Addition =9+(-1)⋅ 5 \, \blacksquare15-27 \blacksquare15-27| als Addition =15+(-1)⋅ 27 \, \blacksquare3-(-4) \blacksquare3-(-4)| als Addition =3+(-1)⋅(-4) \, \blacksquare200-0 \blacksquare200-0| als Addition =200+(-1)⋅ 0
Weil diese Umformung mit jeder Zahl möglich ist, klappt das auch mit Variablen:
\blacksquare9-x \blacksquare9-x| als Addition =9+(-1)⋅ x \, \blacksquarea-b \blacksquarea-b| als Addition =a+(-1)⋅ b
Statt (-1)⋅ x schreibst du kurz: -x.
Die Umformung von oben kannst du also auch so schreiben:
\blacksquare9-x \blacksquare9-x| als Addition =9+(-x) \, \blacksquarea-b \blacksquarea-b| als Addition =a+(-b)
Damit kannst du das Distributivgesetz auch dann anwenden, wenn statt mit einer Addition mit einer Subtraktion multipliziert wird:
Das war jetzt auch wieder seeehr ausführlich. (Das war Absicht, um dir ein weiteres Beispiel für eine exakte Termumformung zu zeigen.)
Merken musst du dir nur:
Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.
\blacksquarea⋅ b\minusa⋅ c=a⋅(b\minusc)
Und schon wird das Auflösen einer Subtraktion als Faktor sehr viel kürzer:
Rechne aus. Achte genau auf alle Minus- und Plus-Zeichen!
///
(Die Hilfsrechnungen musst du nicht unbedingt ausfüllen.)
///
$#$z211a#+(#$z211b#)=$ $-$ $=$
///
$#$z212a#+(#$z212b#)=$ $-$ $=$
///
$(#$z213a#)+#$z213b#=$ $-$ $=$
///
$(#$z214a#)+#$z214b#=$ $-$ $=$
///
$(#$z215a#)+(#$z215b#)=-($$+$$)=$
///
$(#$z216a#)+(#$z216b#)=-($$+$$)=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus. Achte genau auf alle Minus- und Plus-Zeichen!
///
(Die Hilfsrechnungen musst du nicht unbedingt ausfüllen.)
///
$#$z221a#-(#$z221b#)=$$+$$=$
///
$#$z222a#-(#$z222b#)=$$+$$=$
///
$(#$z223a#) - #$z223b#=$$+$$=$
///
$(#$z224a#) - #$z224b#=$$+$$=$
///
$(#$z225a#) - (#$z225b#)=$$+$$=$
///
$(#$z226a#) - (#$z226b#)=$$+$$=$
$_page.btn.next.text = (($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text);
Fangen wir mit ein paar praktischen Regeln an. Sie machen dir das Schreiben und Lesen von Termen leichter:
Werden in einem Term Zahlen und Variablen miteinander multipliziert, schreibe diese Faktoren in folgender Reihenfolge:
zuerst die Zahl oder die Zahlen,
dann die Variable und
unterschiedliche Variablen in alphabetischer Reihenfolge.
///
Aber: Bei Klammern musst du den weggelassenen Mal-Operator ,,mitlesen''!
Du musst den Mal-Punkt nicht weglassen! Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser den Malpunkt.
Der folgende Tipp ist immer dann hilfreich, wenn du mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen willst:
Eine Termumformung kannst du abkürzen, indem du
Faktoren mit Variablen immer gleich in die ,,richtige'' Reihenfolge bringst und
statt einer Multiplikation von mehreren Zahlen gleich ihr Produkt aufschreibst.
Die Rechenschritte, die du dabei ,,überspringst'' (meist Kommutativgesetz und Multiplikation), musst du nicht unbedingt aufschreiben.
write value="$\blacksquare (x+4)\cdot 3$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\align[13]{\blacksquare (x+4)\cdot 3}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[10]{=3x+12}$" delay=3000;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare b\cdot(3+a)$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\align[13]{\blacksquare b\cdot(3+a)}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[10]{=3b+ab}$" delay=1500;
//write value="$\,$";
Auch hier gilt: Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser alle Schritte auf.
Mit dem Tipp kannst du die Termumformung vom Anfang schon ein wenig abkürzen:
write value="$\blacksquare 2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$" delay=3500;
write lastclear nofadein value="$\align[25]{\blacksquare 2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot(3+x)}+6}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=2+6x+\style[red]{12+4x}+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{6x+12}+4x+6}$| Summanden tauschen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{12+6x}+4x+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{2+12}+6x+4x+6}$| addieren" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14}+6x+4x+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{6x+4x}+6}$| ausklammern" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{(6+4)x}+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=14+(\style[red]{6+4})x+6}$| addieren" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{10}x+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14+10x}+6}$| Summanden tauschen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{10x+14}+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{14+6}}$| Summanden verbinden" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{(14+6)}}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{(14+6)}}$| addieren" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{20}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+20}$" delay=1500;
///
Stimmt, immer noch kompliziert.
///
Aber mit dem nächsten Tipp geht es schon sehr viel einfacher:
Um einen Term mit einer Variablen zu vereinfachen, gehe so vor:
Löse zuerst alle Klammern auf (mit dem Distributivgesetz).
Rechne dabei Multiplikationen von Zahlen gleich aus und bringe Multiplikationen mit der Variablen in die richtige Reihenfolge.
Addiere dann die Terme mit derselben Variablen als Faktor.
Addiere schließlich die Zahlterme /- also diejenigen Zahlen, die keine Faktoren vor Variablen sind.
write value="$\blacksquare 5+(x+3)\cdot 5+x\cdot 2$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[22]{\blacksquare 5+\style[red]{(x+3)\cdot 5}+x\cdot 2}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 5+\style[red]{5x+15}+2x}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=5+\style[red]{5x}+15+\style[red]{2x}}$| Terme mit $x$ zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 5+\style[red]{7x}+15}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=\style[red]{5}+7x+\style[red]{15}}$| Zahlterme zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 7x+\style[red]{20}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=7x+20}$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[22]{\blacksquare 2+\style[red]{3a}+4b+5+\style[red]{4a}+6b}$| Terme mit $a$ zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 2+\style[red]{7a}+4b+5+6b}$" delay=2500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=2+7a+\style[red]{4b}+5+\style[red]{6b}}$| Terme mit $b$ zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 2+7a+\style[red]{10b}+5}$" delay=2500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=\style[red]{2}+7a+10b+\style[red]{5}}$| Zahlterme zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 7a+10b+\style[red]{7}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=7a+10b+7}$" delay=2500;
Mit ein wenig Übung kannst du die verschiedenen Terme auch in einem Schritt zusammenfassen:
write value="$\blacksquare 5+(x+3)\cdot 5+x\cdot 2$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[22]{\blacksquare 5+\style[red]{(x+3)\cdot 5}+x\cdot 2}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= 5+\style[red]{5x+15}+2x}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=\style[green]{5}+\style[red]{5x}+\style[green]{15}+\style[red]{2x}}$| Terme zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{=\style[red]{7x}+\style[green]{20}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=7x+20}$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[22]{\blacksquare \style[green]{2}+\style[red]{3a}+\style[blue]{4b}+\style[green]{5}+\style[red]{4a}+\style[blue]{6b}}$| Terme zusammenfassen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[19]{= \style[red]{7a}+\style[blue]{10b}+\style[green]{7}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[19]{=7a+10b+7}$" delay=2500;
Um Terme zusammenzufassen, nutze den ,,Bleistiftrechner'':
set originx=5 originy=5;
//2+3a+4b+5+4a+6b
paint latex align=center valign=middle y=0 x=0 value="2";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=3 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=7.5 value="3a";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=12 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=16.5 value="4b";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=21 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=24 value="5";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=27 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=31.5 value="4a";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=36 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=40.5 value="6b";
paint latex align=center valign=middle y=8 x=5 value="=";
// Variable a
write clear value="1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit genau einer Variablen als Faktor (also hier mit der Variablen $a$).";
wait delay;
paint pencil x=0 y=1 flyin delay=1000;
transform id=pencil mdx=7.5 delay=1500;
paint id=e1 ellipse x=57 y=0 rx=10 ry=7 fill=green color=none origin="57 0" scale=0.5 opacity=0;
write clear value="Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm.";
wait delay;
paint id=bubble bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="3";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
paint line x=5 y=2 x2=10 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor $a$.";
wait delay;
transform id=pencil mx=16.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=24 delay=1500;
transform id=pencil mx=31.5 delay=1500;
write clear value="Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm.";
wait delay;
paint id=bubble2 bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="7";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble;
paint line x=29 y=2 x2=34 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch.";
wait delay;
transform id=pencil mx=40.5 my=1 delay=1500;
write clear value="3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $a$ errechnet. Schreibe sie mit dem Faktor $a$ als Teilergebnis auf.";
wait delay;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=11 value="7a" fadein=west delay=2000;
delete id=bubble2 opacout;
// Variable b
wait delay;
write clear value="4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Teilterme mit der zweiten Variablen zusammen (also hier mit der Variablen $b$).";
//wait button;
transform id=pencil mx=0 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=7.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=16.5 my=1 delay=1500;
paint id=bubble bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="4";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
paint line x=14 y=2 x2=19 y2=2 color=grey pencil keep;
transform id=pencil mx=24 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=31.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=40.5 my=1 delay=1500;
paint id=bubble2 bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="10";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble;
paint line x=38 y=2 x2=43 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="5. Jetzt hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $b$ errechnet. Addiere sie mit dem Faktor $b$ zum bisherigen Ergebnisterm.";
wait delay;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=15.5 value="+" fadein=west;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=21.5 value="10b" fadein=west;
delete id=bubble2 opacout;
// Zahlterme
wait delay;
write clear value="6. Gehe wieder zurück zum ersten Teilterm und addiere alle reinen Zahlterme.";
//wait delay;
transform id=pencil mx=0 my=1 delay=1500;
paint id=bubble bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="2";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
paint line x=-1.5 y=2 x2=1.5 y2=2 color=grey pencil keep;
transform id=pencil mx=7.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=16.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=24 my=1 delay=1500;
paint id=bubble2 bubble x=55 y=5 width=10 height=7 value="7";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble;
paint line x=22.5 y=2 x2=25.5 y2=2 color=grey pencil keep;
transform id=pencil mx=31.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=40.5 my=1 delay=1500;
write clear value="7. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm.";
wait delay;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=27 value="+" fadein=west;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=30 value="7" fadein=west;
write clear value="Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.";
delete id=bubble2 opacout;
delete id=pencil flyout;
write all button;
repeat button;
Mit diesem Tipp ist die Vereinfachung des Terms vom Anfang jetzt ganz leicht:
Aufgabe: Vereinfache den Term
///$\tab2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$
///so weit wie möglich.
///
Lösung:
write value="$\blacksquare 2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$" delay=1500;
wait button="Lösungsweg anzeigen!" delay=20000;
write lastclear nofadein value="$\align[25]{\blacksquare 2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot(3+x)}+6}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=2+6x+\style[red]{12+4x}+6}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[green]{2}+\style[red]{6x}+\style[green]{12}+\style[red]{4x}+\style[green]{6}}$| Terme zusammenfassen"
delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{10x}+\style[green]{20}}$" delay=2500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[22]{=10x+20}$" delay=2500;
Auch das konntest du wieder mithilfe des ,,Bleistiftrechners'' machen:
set originx=5 originy=5;
paint latex align=center valign=middle y=0 x=0 value="2";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=3 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=7.5 value="6x";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=11.5 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=15.5 value="12";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=19.5 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=24 value="4x";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=28 value="+";
paint latex align=center valign=middle y=0 x=31 value="6";
paint latex align=center valign=middle y=8 x=5 value="=";
write clear value="1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit dem Faktor $x$.";
wait delay;
paint pencil x=0 y=1 flyin delay=1000;
transform id=pencil mdx=7.5 delay=1500;
paint id=e1 ellipse x=52 y=0 rx=10 ry=7 fill=green color=none origin="52 0" scale=0.5 opacity=0;
write clear value="Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm.";
wait delay;
paint id=bubble bubble x=50 y=5 width=10 height=7 value="6";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
paint line x=5 y=2 x2=10 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor $x$.";
wait delay;
transform id=pencil mx=15.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=24 delay=1500;
write clear value="Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm.";
wait delay;
paint id=bubble2 bubble x=50 y=5 width=10 height=7 value="10";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble;
paint line x=21.5 y=2 x2=26.5 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch.";
wait delay;
transform id=pencil mx=31 my=1 delay=1500;
write clear value="3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $x$ errechnet. Schreibe sie mit $x$ als Faktor auf.";
wait delay;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=11 value="10x" fadein=west delay=2000;
delete id=bubble2 opacout;
wait delay;
write clear value="4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Zahlterme zusammen.";
//wait button;
transform id=pencil mx=0 my=1 delay=1500;
paint id=bubble bubble x=50 y=5 width=10 height=7 value="2";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
paint line x=-1.5 y=2 x2=1.5 y2=2 color=grey pencil keep;
transform id=pencil mx=7.5 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=15.5 my=1 delay=1500;
paint id=bubble2 bubble x=50 y=5 width=10 height=7 value="14";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble;
paint line x=13.5 y=2 x2=18 y2=2 color=grey pencil keep;
transform id=pencil mx=24 my=1 delay=1500;
transform id=pencil mx=31 my=1 delay=1500;
paint id=bubble bubble x=50 y=5 width=10 height=7 value="20";
transform id=e1 scale=0.5 opacity=1 transition=0s delay=10; transform id=e1 scale=1 opacity=0;
delete id=bubble2;
paint line x=29.5 y=2 x2=32.5 y2=2 color=grey pencil keep;
write clear value="5. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm.";
wait delay;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=16 value="+" fadein=west;
paint latex align=center valign=middle y=8 x=20.5 value="20" fadein=west;
write clear value="Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.";
delete id=bubble opacout;
delete id=pencil flyout;
write all button;
repeat button;
Bisher kamen in allen Termen nur Additionen vor. Aber können Variablen auch in Termen mit Subtraktionen vorkommen?
///
Ja, klar!
///
Du erinnerst dich sicher an folgende Rechenregel:
Eine Subtraktion kannst du in eine Addition mit der Gegenzahl umformen:
write value="$\blacksquare\align[15]{9-5}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{9-5}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=9+(-5)$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{15-27}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{15-27}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=15+(-27)$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=3+4$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{200-0}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{200-0}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=200+(-0)$" delay=2500;
Außerdem:
Die Gegenzahl einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit $\style[bold]{-1}$ multiplizierst:
///
Für die Umformung einer Subtraktion in eine Addition folgt damit:
write value="$\blacksquare\align[15]{9-5}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{9-5}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=9+(-1)\cdot 5$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{15-27}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{15-27}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=15+(-1)\cdot 27$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=3+(-1)\cdot(-4)$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{200-0}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{200-0}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=200+(-1)\cdot 0$" delay=2500;
Weil diese Umformung mit jeder Zahl möglich ist, klappt das auch mit Variablen:
write value="$\blacksquare\align[15]{9-x}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{9-x}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=9+(-1)\cdot x$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{a-b}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{a-b}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=a+(-1)\cdot b$" delay=2500;
Statt
$(-1)\cdot x$
schreibst du kurz:
$-x$.
Die Umformung von oben kannst du also auch so schreiben:
write value="$\blacksquare\align[15]{9-x}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{9-x}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=9+(-x)$" delay=2500;
write value="$\,$";
write value="$\blacksquare\align[15]{a-b}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\blacksquare\align[15]{a-b}$| als Addition" delay=1500;
write value="$\tab=a+(-b)$" delay=2500;
Damit kannst du das Distributivgesetz auch dann anwenden, wenn statt mit einer Addition mit einer Subtraktion multipliziert wird:
write value="$\blacksquare 4\cdot(3-x)$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\align[17]{\blacksquare 4\cdot(3\style[red]{\minus x})}$| als Addition" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=4\cdot(3\style[red]{+(-x)})}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[14]{=4\cdot(3+(-x))}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=12+4(-x)}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[14]{=12+4\style[red]{(-x)}}$| $-x$ auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=12+4\style[red]{(-1)x}}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[14]{=12+\style[red]{4(-1)}x}$| Faktoren vertauschen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=12+\style[red]{(-1)4}x}$" delay=1500;
wait delay;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[14]{=12\style[red]{+(-1)4}x}$| als Subtraktion" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=12\style[red]{\minus4}x}$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\align[3]{}\align[14]{=12-4x}$" delay=2500;
Das war jetzt auch wieder seeehr ausführlich. (Das war Absicht, um dir ein weiteres Beispiel für eine exakte Termumformung zu zeigen.)
///
Merken musst du dir nur:
Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.
write nofadein value="$\blacksquare\align[9:r]{a\cdot b\style[red]{\minus}a\cdot c}=a\cdot(b\style[red]{\minus}c)$";
paint latex x=5 y=5.5 value="a\cdot";
paint id=l2 latex x=10 y=5.5 value="b\align[0.15]{}\style[red]{\minus}";
paint id=l3 latex x=17 y=5.5 value="a\cdot";
paint id=l4 latex x=22 y=5.5 value="c";
paint id=l5 latex x=10 y=5.5 value="(\align[4.2]{})" opacity=0;
delay=2000;
transform id=l3 mdx=-12 xopacity=0;
transform id=l2 mdx=2;
transform id=l4 mdx=-3.5;
transform id=l5 opacity=1;
delay=5000;
transform id=l3 mdx=12 xopacity=1;
transform id=l2 mdx=-2;
transform id=l4 mdx=3.5;
transform id=l5 opacity=0;
delay=3000;
repeat;
Und schon wird das Auflösen einer Subtraktion als Faktor sehr viel kürzer:
write value="$\blacksquare 4\cdot(3-x)$" delay=1500;
write lastclear nofadein value="$\align[17]{\blacksquare 4\cdot(3-x)}$| Klammer auflösen" delay=2500;
write value="$\align[3]{}\align[14]{=12-4x}$" delay=1500;
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";
$termumf3_1_1 = lmtRandom(4,12);
;
$termumf3_2_1 = lmtRandom(4,10);
$termumf3_2_2 = lmtRandom(4,10);
;
$termumf3_3_x1 = lmtRandom(3,10);
$termumf3_3_x2 = lmtRandom(1,$termumf3_3_x1 - 1);
$termumf3_3_x3 = lmtRandom(1,6);
$termumf3_3_1 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_3_2 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_3_3 = lmtRandom(1,$termumf3_3_1+$termumf3_3_2 - 1);
$termumf3_3_4 = lmtRandom(2,10);
;
$termumf3_4_a1 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_4_a2 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_4_b1 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_4_b2 = lmtRandom(2,10);
$termumf3_4_1 = lmtRandom(5,15);
$termumf3_4_2 = lmtRandom(1,$termumf3_4_1 - 1);
;
;
;
$_termumform3_3_complete =
($_page.inputs.termumf3_3_1 != "") .and.
($_page.inputs.termumf3_3_2 != "") .and.
true;
$_termumform3_3_correct =
($_page.inputs.termumf3_3_1 == $termumf3_3_x1 - $termumf3_3_x2 + $termumf3_3_x3) .and.
($_page.inputs.termumf3_3_2 == $termumf3_3_1 + $termumf3_3_2 - $termumf3_3_3 + $termumf3_3_4) .and.
true;
;
$_termumform3_4_complete =
($_page.inputs.termumf3_4_1 != "") .and.
($_page.inputs.termumf3_4_2 != "") .and.
($_page.inputs.termumf3_4_3 != "") .and.
true;
$_termumform3_4_correct =
($_page.inputs.termumf3_4_1 == $termumf3_4_a1 + $termumf3_4_a2) .and.
($_page.inputs.termumf3_4_2 == $termumf3_4_b1 + $termumf3_4_b2) .and.
($_page.inputs.termumf3_4_3 == $termumf3_4_1 - $termumf3_4_2) .and.
true;
;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Zu welchen Termen ist der Term
///
$\tab #$termumf3_1_1#x$
///
gleichwertig (äquivalent)?
///
$#$termumf3_1_1#\cdot x$
$#$termumf3_1_1#+x$
$x\cdot #$termumf3_1_1#$
keinem
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Zu welchen Termen ist der Term
///
$\tab #$termumf3_2_1#\cdot(x+#$termumf3_2_2#)$
///
gleichwertig (äquivalent)?
///
$#$termumf3_2_1#x+#$termumf3_2_2#$
$#$termumf3_2_1#(x+#$termumf3_2_2#)$
$#$termumf3_2_1#x+#$termumf3_2_1 * $termumf3_2_2#$
$#$termumf3_2_1#\cdot x + #$termumf3_2_1#\cdot #$termumf3_2_2#$
keinem
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Vereinfache den Term:
///
$#$termumf3_4_1#+#$termumf3_4_a1#a+#$termumf3_4_a2#a+#$termumf3_4_b1#b-#$termumf3_4_2#+#$termumf3_4_b2#b$
$\tab=$
$a+$
$b+$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
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