Hier lernst du: was ein Winkel ist, was ein rechter Winkel ist und welche Gruppen von Winkeln es gibt.
Winkel und rechter Winkel
Sieh dir das Bild an: Die beiden Dachschrägen stoßen oben am Giebel ziemlich spitz zusammen.
Wie kann man "mathematisch" beschreiben, wie "spitz" sich die beiden Dachschrägen "treffen"?
was ein Winkel ist,
was ein rechter Winkel ist und
welche Gruppen von Winkeln es gibt.
Den Dachgiebel können wir "mathematisch" darstellen ("modellieren"):
Wir stellen den Dachgiebel mit zwei Halbgeraden dar. Ihr gemeinsamer Anfangspunkt ist Punkt S. Die beiden Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden einen Winkel.
Zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden zusammen einen Winkel. Die Halbgeraden eines Winkels heißen Schenkel, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt.Den Winkel markierst du mit einem kleinen Kreisbogen.
Die auch, zumindest fast!
Auch Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt treffen sich in einem Winkel. Aber sieh dir diese Animation an:
Auch wenn sich die Längen der Strecken ändern: Der Winkel am Scheitelpunkt S bleibt immer "gleich spitz". Die Längen der Strecken sind also unwichtig dafür, wie spitz der Winkel ist. Daher nehmen wir für die Definition Halbgeraden statt Strecken. Denn Halbgeraden haben keine bestimmte Länge. ("Unendlich lang" ist keine bestimmte Länge.)
Wenn du ganz genau sein willst, kannst du unterscheiden:
Zwei Halbgeraden mit demselbem Anfangspunkt bilden einen Winkel.
Zwei Linien (Halbgeraden, Geraden, Strecken ...) treffen sich in einem gemeinamen Punkt mit einem bestimmten Winkel.
Winkeln kannst du Bezeichnungen geben. Dafür hast du mehrere Möglichkeiten: Du bezeichnest einen Winkel mit ...
einem griechischen Kleinbuchstaben:\alpha,\beta,\gamma,\delta usw. Die Bezeichnung schreibst du in den Kreisbogen oder, wenn der Winkel zu klein ist, daneben. (Gleich mehr dazu.)
den Bezeichnungen seiner Halbgeraden nach einem kleinen Winkelsymbol: \angle ab
den Bezeichnungen der Punkte, durch die die Schenkel führen, nach dem Winkelsymbol: \angle ASB Der Scheitelpunkt steht dabei immer in der Mitte.
Noch ein paar Worte zum griechischen Alphabet:
Im Großen und Ganzen "funktioniert" es ähnlich wie "unser" lateinische Alphabet. Nur sehen die Buchstaben etwas anders aus und heißen auch anders.
Winkel werden meistens mit den ersten Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet. Merke dir vor allem die ersten fünf Buchstaben und ihre Namen:Bis auf das Gamma \gamma entsprechen die ersten fünf Buchstaben also denen des lateinischen Alphabets.
Entsprechend wird der Winkel bei einem Punkt A meist mit \alpha bezeichnet, der Winkel bei Punkt B mit \beta, der Winkel bei Punkt C mit \gamma usw.
Bei einer Strecke kann man die Länge angeben. Bei einem Winkel kann man angeben, wie "spitz" sich die beiden Schenkel im Scheitelpunkt treffen.
Das Maß, wie "spitz" ein Winkel ist, heißt ebenfalls Winkel.
Der "Winkel eines Winkels" wird meistens in der Maßeinheit Grad gemessen. Statt "Grad" schreibst du einen kleinen, hochgestellten Kreis \circ: Du schreibst zum Beispiel: \alpha=60\circ oder \angle ab=60\circ oder \beta=120\circ
Das sprichst du als: "Alpha ist gleich 60 Grad", oder: "Der Winkel der Halbgeraden a und b ist 60 Grad", oder: "Der Winkel Beta ist gleich 120 Grad (groß)."
Du kannst die Größe des Winkels auch direkt in den Winkel schreiben, wenn der Winkel keinen Buchstaben als Bezeichnung hat.
Rechter Winkel
Wie du Winkel misst und zeichnest, erfährst du in anderen Lerneinheiten.
Einen ganz besonderen Winkel lernst du aber schon jetzt kennen: den rechten Winkel.
Ein rechter Winkel entsteht, wenn ein Strahl von einem Punkt auf einer Geraden so wegführt, dass er mit der Geraden zwei genau gleiche Winkel bildet:
Wenn die Winkel \alpha und \beta gleich groß sind, also \alpha=\beta, dann sind \alpha und \beta rechte Winkel. Ein rechter Winkel hat immmer die Größe 90\circ. Es gilt dann also: \alpha=90\circ und \beta=90\circ.
Einen rechten Winkel kennzeichnest du mit einem Punkt im Kreisbogen:
Der Punkt ist eine Kurzform für "90\circ". Es genügt, nur einen der beiden Winkel als rechten Winkel zu kennzeichnen. Da beide Winkel gleich groß sind, ist der zweite Winkel automatisch auch ein rechter Winkel.
Rechte Winkel findest du in der "Realität" sehr, sehr häufig: Bei Gebäuden, Möbeln und vielem anderen mehr sind fast alle Winkel rechte Winkel.
Fenster, Türen, Mauersteine, Fließen usw. haben an den Ecken meistens rechte Winkel, damit man sie gut zusammenfügen kann. Mauern, Wände und Türme "treffen" im rechten Winkeln auf den Boden __ so stehen sie am stabilsten.
Rechte Winkel dienen auch dazu, um andere Winkel grob einzuteilen.
Je nachdem, ob ein Winkel "spitzer" oder weniger "spitz" als ein rechter Winkel ist, bekommen sie eigene Bezeichnungen:
Spitze Winkel sind kleiner ("spitzer") als ein rechter Winkel, also \alpha\lt90\circ:
Stumpfe Winkel sind größer ("stumpfer") als ein rechter Winkel, also \alpha\gt90\circ und \alpha\lt180\circ:
Überstumpfe Winkel sind größer als zwei rechte Winkel, also \alpha\gt180\circ:
Winkel und rechter Winkel
Sieh dir das Bild an:
paint id=image image href="pics/winkel_giebel.jpg" x=0 y=5 width=80 height=80 flyin=east;
Die beiden Dachschrägen stoßen oben am Giebel ziemlich spitz zusammen.
///Wie kann man ,,mathematisch'' beschreiben, wie ,,spitz'' sich die beiden Dachschrägen ,,treffen''?
Welches Bild zeigt eine Strecke zwischen zwei Punkten? Klicke das Bild an:
///
paint cross x=5 y=20;
paint cross x=45 y=25;
paint path d="M5,20 T25,10 40,11 T34,13 45,25" color=red fadein=west;
paint cross x=5 y=25;
paint cross x=45 y=10;
paint line x=5 y=25 x2=45 y2=10 color=blue fadein=west;
paint cross x=5 y=10;
paint line x=5 y=10 x2=40 y2=30 color=green fadein=west;
paint cross x=5 y=10;
paint cross x=45 y=25;
paint path d="M5,10 L15,30 L45,25" color=purple fadein=west;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
In welchen zwei Bildern wird eine Halbgerade richtig gezeichnet? Klicke die beiden Bilder an:
///
paint cross x=40 y=30;
paint line x2=5 y2=10 x=40 y=30 color=blue ruler;
paint delay=1000;
repeat;
paint cross x=10 y=25;
paint cross x=35 y=12.6;
paint line x=10 y=25 x2=40 y2=10 color=red triangle;
paint delay=1000;
repeat;
paint cross x=15 y=13;
paint line x=10 y=10.5 x2=40 y2=25.5 color=green ruler;
paint delay=1000;
repeat;
paint cross x=5 y=15;
paint line x=5 y=15 x2=40 y2=20 color=purple pencil;
paint delay=3000;
repeat;
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Den Dachgiebel können wir ,,mathematisch'' darstellen (,,modellieren''):
paint id=image image href="pics/winkel_giebel.jpg" x=0 y=5 width=80 height=80;
setorigin x=45 y=8;
write="Wir stellen den Dachgiebel mit zwei Halbgeraden dar. Ihr gemeinsamer Anfangspunkt ist Punkt $S$.";
paint cross x=0 y=0 caption=S pencil keep;
paint cross x=-27.5 y=44 pencil keep;
paint cross x=28.5 y=44 pencil;
transform id=image opacity=0.4 transition=1s delay=1200;
paint ruler x=0 y=0 x2=-27.5 y2=44 flyin delay=1200;
paint line x=0 y=0 x2=-27.5 y2=44 length=60 pencil caption=a;
transform ruler drotate=-65 transition=1s delay=1100;
paint line x=0 y=0 x2=28.5 y2=44 length=60 pencil caption=b:-50;
delete ruler flyout;
delay=2000;
transform id=image opacity=0.2 transition=2s delay=2200;
write="Die beiden Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden einen Winkel.";
paint arc x=0 y=0 dx1=-27.5 dy1=44 dx2=28.5 dy2=44 r=20 fadein=west;
repeat button;
Zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden zusammen einen Winkel.
Die Halbgeraden eines Winkels heißen Schenkel, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt.
setorigin x=19 y=20;
paint cross x=0 y=0 caption=S:-90;
paint line x=0 y=0 alpha=105 length=50 caption=a;
paint line x=0 y=0 alpha=75 length=50 caption=b:-50;
paint arc x=0 y=0 alpha1=105 alpha2=75 r=18;// angcaption=\alpha;
paint text size=0.8 color=red x=-2 y=-10 align=center value="Scheitelpunkt" fadein=west;
paint pointer x=-2 y=-9 x2=0.1 y2=0 color=red fadein=north;
paint text size=0.8 color=red x=40 y=1 value="Schenkel" fadein=west;
paint pointer x=39 y=-1 x2=34 y2=-8.5 color=red fadein=south;
paint pointer x=39 y=1 x2=34 y2=8.5 color=red fadein=north;
paint text x=5 y=10 color=red size=0.8 align=center valign=top value="Kreisbogen" fadein=west;
paint pointer x=8 y=9 x2=17.8 y2=1 color=red fadein=west;
Den Winkel markierst du mit einem kleinen Kreisbogen.
///Die auch, zumindest fast!
///Auch Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt treffen sich in einem Winkel.
Aber sieh dir diese Animation an:
setorigin x=10 y=20;
paint cross x=0 y=0 caption=S:270;
setorigin alpha=15;
paint id=crossa cross x=40 y=0 caption=A:175;
paint id=linea1 line x=0 y=0 x2=40 y2=0;
paint id=linea2 line x=0 y=0 x2=20 y2=0 caption=a:120;
setorigin alpha=-15;
paint id=crossb cross x=40 y=0 caption=B:15;
paint id=lineb1 line x=20 y=0 x2=40 y2=0;
paint id=lineb2 line x=0 y=0 x2=20 y2=0 caption=b:-120;
setorigin alpha=0;
paint arc x=0 y=0 alpha1=105 alpha2=75 r=18;
paint delay=1000;
write value="Auch wenn sich die Längen der Strecken ändern: Der Winkel am Scheitelpunkt $S$ bleibt immer ,,gleich spitz''.";
setorigin alpha=15;
transform id=crossa mdx=10 delay=0;
transform id=crossa_caption mdx=10 transition=1s;
transform id=linea1 mdx=10 delay=1500;
setorigin alpha=-15;
transform id=crossb mdx=-10 delay=0;
transform id=crossb_caption mdx=-10 transition=1s;
transform id=lineb1 mdx=-10 delay=1500;
setorigin alpha=15;
transform id=crossa mdx=-5 delay=0;
transform id=crossa_caption mdx=-5 transition=1s;
transform id=linea1 mdx=-5 delay=1500;
setorigin alpha=-15;
transform id=crossb mdx=5 delay=0;
transform id=crossb_caption mdx=5 transition=1s;
transform id=lineb1 mdx=5 delay=1500;
write value="Die Längen der Strecken sind also unwichtig dafür, wie spitz der Winkel ist. Daher nehmen wir für die Definition Halbgeraden statt Strecken. Denn Halbgeraden haben keine bestimmte Länge. (,,Unendlich lang'' ist keine bestimmte Länge.)";
transform id=crossa opacity=0 transition=1s;
transform id=crossb opacity=0 transition=1s;
transform id=crossa_caption opacity=0 transition=1s;
transform id=crossb_caption opacity=0 transition=1s;
transform id=linea1 mdx=-5;
transform id=lineb1 mdx=5 delay=1500;
repeat button;
Wenn du ganz genau sein willst, kannst du unterscheiden:
Zwei Halbgeraden mit demselbem Anfangspunkt bilden einen Winkel.
Zwei Linien (Halbgeraden, Geraden, Strecken ...) treffen sich in einem gemeinamen Punkt mit einem bestimmten Winkel.
Winkeln kannst du Bezeichnungen geben. Dafür hast du mehrere Möglichkeiten:
setorigin x=15 y=20;
paint cross x=0 y=0 caption=S:-90;
paint arc x=0 y=0 alpha1=105 alpha2=75 r=18 angcaption=\alpha;
setorigin alpha=15;
paint line x=0 y=0 alpha=90 length=50 caption=a:50;
paint cross x=40 y=0 caption=A:175;
setorigin alpha=-15;
paint line x=0 y=0 alpha=90 length=50 caption=b:-50;
paint cross x=40 y=0 caption=B:15;
Du bezeichnest einen Winkel mit ...
einem griechischen Kleinbuchstaben:$\alpha,\beta,\gamma,\delta$ usw.
Die Bezeichnung schreibst du in den Kreisbogen oder, wenn der Winkel zu klein ist, daneben.
(Gleich mehr dazu.)
den Bezeichnungen seiner Halbgeraden nach einem kleinen Winkelsymbol:
$\angle ab$
den Bezeichnungen der Punkte, durch die die Schenkel führen, nach dem Winkelsymbol:
$\angle ASB$
Der Scheitelpunkt steht dabei immer in der Mitte.
Noch ein paar Worte zum griechischen Alphabet:
///Im Großen und Ganzen ,,funktioniert'' es ähnlich wie ,,unser'' lateinische Alphabet.
Nur sehen die Buchstaben etwas anders aus und heißen auch anders.
Winkel werden meistens mit den ersten Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet.
Merke dir vor allem die ersten fünf Buchstaben und ihre Namen:
setorigin x=10 y=-1;
paint latex x=0 y=5 value=\alpha;
paint latex x=0 y=12 value=\beta;
paint latex x=0 y=19 value=\gamma;
paint latex x=0 y=26 value=\delta;
paint latex x=0 y=33 value=\varepsilon;
setorigin x=17;
paint latex x=0 y=5 value="\text{Alpha}";
paint latex x=0 y=12 value="\text{Beta}";
paint latex x=0 y=19 value="\text{Gamma}";
paint latex x=0 y=26 value="\text{Delta}";
paint latex x=0 y=33 value="\text{Epsilon}";
setorigin x=35;
paint latex x=0 y=5 size=0.8 value="(=\text{a})";
paint latex x=0 y=12 size=0.8 value="(=\text{b})";
paint latex x=0 y=19 size=0.8 value="(=\text{g})";
paint latex x=0 y=26 size=0.8 value="(=\text{d})";
paint latex x=0 y=33 size=0.8 value="(=\text{e})";
Bis auf das Gamma $\gamma$ entsprechen die ersten fünf Buchstaben also denen des lateinischen Alphabets.
///Entsprechend wird der Winkel bei einem Punkt $A$ meist mit $\alpha$ bezeichnet,
der Winkel bei Punkt $B$ mit $\beta$, der Winkel bei Punkt $C$ mit $\gamma$ usw.
Bei einer Strecke kann man die Länge angeben.
Bei einem Winkel kann man angeben, wie ,,spitz'' sich die beiden Schenkel im Scheitelpunkt treffen.
Das Maß, wie ,,spitz'' ein Winkel ist, heißt ebenfalls Winkel.
///Der ,,Winkel eines Winkels'' wird meistens in der Maßeinheit Grad gemessen.
Statt ,,Grad'' schreibst du einen kleinen, hochgestellten Kreis $\circ$:
paint cross x=5 y=25 caption=A:200;
paint line x=5 y=25 alpha=90 length=25 caption=a:80;
paint id=line1 line x=5 y=25 origin="5 25" alpha=90 length=25;
paint cross x=40 y=25 caption=B:200;
paint line x=40 y=25 alpha=90 length=25 caption=c;
paint id=line2 line x=40 y=25 origin="40 25" alpha=90 length=25;
paint cross x=75 y=25 caption=C:200;
paint line x=75 y=25 alpha=90 length=25 caption=e:80;
paint id=line3 line x=75 y=25 origin="75 25" alpha=90 length=25;
delay=50;
transform id=line1 drotate=-60 transition=1s;
transform id=line2 drotate=-120 transition=1s;
transform id=line3 drotate=-40 transition=1s;
delay=1100;
paint line x=5 y=25 alpha=30 length=25 caption=b:-80;
paint arcsegment x=5 y=25 alpha1=90 r=8 alpha2=30 angcaption=\alpha fill=lightblue;
paint line x=40 y=25 alpha=-30 length=25 caption=d:-50;
paint arcsegment x=40 y=25 alpha1=90 r=8 alpha2=-30 angcaption=\beta fill=lightblue;
paint line x=75 y=25 alpha=50 length=25 caption=f:-80;
paint arcsegment x=75 y=25 alpha1=90 r=13 alpha2=50 angcaption=40\circ:0.9 fill=lightblue;
repeat button;
Du schreibst zum Beispiel:
$\alpha=60\circ$ oder $\angle ab=60\circ$ oder $\beta=120\circ$
///Das sprichst du als: ,,Alpha ist gleich 60 Grad'', oder: ,,Der Winkel der Halbgeraden $a$ und $b$ ist 60 Grad'', oder: ,,Der Winkel Beta ist gleich 120 Grad (groß).''
///Du kannst die Größe des Winkels auch direkt in den Winkel schreiben,
wenn der Winkel keinen Buchstaben als Bezeichnung hat.
Rechter Winkel
Wie du Winkel misst und zeichnest, erfährst du in anderen Lerneinheiten.
///Einen ganz besonderen Winkel lernst du aber schon jetzt kennen: den rechten Winkel.
Ein rechter Winkel entsteht, wenn ein Strahl von einem Punkt auf einer Geraden so wegführt,
dass er mit der Geraden zwei genau gleiche Winkel bildet:
paint line x=10 y=30 x2=70 y2=30 ruler caption=g:10;
paint cross x=40 y=30 caption=S:180 pencil;
paint line x=40 y=30 alpha=0 length=27 caption=h:80 triangle;
paint arc x=40 y=30 r=8 alpha1=90 alpha2=0 angcaption="\alpha" fadein=west;
paint arc x=40 y=30 r=9 alpha1=0 alpha2=-90 angcaption="\beta" fadein=east;
write value="Wenn die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, also $\alpha=\beta$, dann sind $\alpha$ und $\beta$ rechte Winkel." delay=2000;
write value="Ein rechter Winkel hat immmer die Größe $90\circ$. Es gilt dann also: $\alpha=90\circ$ und $\beta=90\circ$.";
repeat button;
Einen rechten Winkel kennzeichnest du mit einem Punkt im Kreisbogen:
paint line x=10 y=30 x2=70 y2=30 ruler caption=g:10;
paint cross x=40 y=30 caption=S:180 pencil;
paint line x=40 y=30 alpha=0 length=27 caption=h:80 triangle;
paint arc x=40 y=30 r=6 alpha1=90 alpha2=0 angcaption=. fadein=west;
write value="Der Punkt ist eine Kurzform für ,,$90\circ$''.";
paint delay=2000;
write value="Es genügt, nur einen der beiden Winkel als rechten Winkel zu kennzeichnen. Da beide Winkel gleich groß sind, ist der zweite Winkel automatisch auch ein rechter Winkel.";
Rechte Winkel findest du in der ,,Realität'' sehr, sehr häufig:
setorigin x=0 y=0 alpha=0;
paint image cx=50 cy=35 href="pics/parallele_fliessen.jpg" width=80 height=60 delay=2000 origin="50 35" rotate=-1 flyin=east;
setorigin x=0 y=0 alpha=-1;
paint line x=49 y=54.5 length=40 alpha=0 fadein=south;
paint line x=49 y=54.5 length=15 alpha=90 fadein=west;
paint arcsegment x=49 y=54.5 alpha1=90 alpha2=0 r=7 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west;
paint delay=3000;
setorigin x=0 y=0 alpha=0;
paint image cx=50 cy=35 href="pics/senkrechte_fernsehturm.jpg" width=80 height=60 delay=2000 origin="50 35" rotate=1 flyin=east;
setorigin x=50.2 y=60 alpha=1;
paint line x=0 y=0 length=50 alpha=0 fadein=south;
paint line x=0 y=0 length=15 alpha=90 fadein=west;
paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 alpha2=0 r=7 angcaption=. fill=lightgreen fadein=west;
paint delay=3000;
repeat;
Bei Gebäuden, Möbeln und vielem anderen mehr sind fast alle Winkel rechte Winkel.
///Fenster, Türen, Mauersteine, Fließen usw. haben an den Ecken meistens rechte Winkel, damit man sie gut zusammenfügen kann.
Mauern, Wände und Türme ,,treffen'' im rechten Winkeln auf den Boden __ so stehen sie am stabilsten.
Rechte Winkel dienen auch dazu, um andere Winkel grob einzuteilen.
///Je nachdem, ob ein Winkel ,,spitzer'' oder weniger ,,spitz'' als ein rechter Winkel ist, bekommen sie eigene Bezeichnungen:
Spitze Winkel sind kleiner (,,spitzer'') als ein rechter Winkel, also $\alpha\lt90\circ$:
setorigin x=40 y=25;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90 opacity=0.2;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=0 opacity=0.2;
paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=90 r=22 alpha2=0 angcaption=90\circ:0.8 opacity=0.2 delay=50;
paint cross x=0 y=0;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90;
paint id=l1 line x=0 y=0 length=30 alpha=90 delay=50;
transform id=l1 rotate=-60 transition=1s delay=1100;
paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 r=10 alpha2=30 angcaption=\alpha fill=lightgreen fadein=north;
paint cross x=0 y=0;
repeat button;
Stumpfe Winkel sind größer (,,stumpfer'') als ein rechter Winkel, also $\alpha\gt90\circ$ und $\alpha\lt180\circ$:
setorigin x=40 y=25;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90 opacity=0.2;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=0 opacity=0.2;
paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=90 r=22 alpha2=0 angcaption=90\circ:0.8 opacity=0.2 delay=50;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=-90 opacity=0.2;
paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=0 r=22 alpha2=-90 angcaption=90\circ:0.8 opacity=0.2 delay=50;
paint cross x=0 y=0;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90;
paint id=l1 line x=0 y=0 length=30 alpha=90 delay=50;
transform id=l1 drotate=-90 transition=1s delay=1100;
transform id=l1 drotate=-30 transition=1s delay=1100;
paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 r=10 alpha2=-30 angcaption=\alpha fill=lightgreen fadein=north;
paint cross x=0 y=0;
repeat button;
Überstumpfe Winkel sind größer als zwei rechte Winkel, also $\alpha\gt180\circ$:
setorigin x=40 y=25;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90 opacity=0.2;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=-90 opacity=0.2;
paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=90 r=22 alpha2=0 angcaption=90\circ:0.8 opacity=0.2 delay=50;
paint line x=0 y=0 length=22 alpha=0 opacity=0.2;
paint id=arc arc x=0 y=0 alpha1=0 r=22 alpha2=-90 angcaption=90\circ:0.8 opacity=0.2 delay=50;
paint cross x=0 y=0;
paint line x=0 y=0 length=30 alpha=90;
paint id=l1 line x=0 y=0 length=30 alpha=90 delay=50;
transform id=l1 drotate=-90 transition=1s delay=1100;
transform id=l1 drotate=-90 transition=1s delay=1100;
transform id=l1 drotate=-30 transition=1s delay=1100;
paint arcsegment x=0 y=0 alpha1=90 r=10 alpha2=-120 angcaption=\alpha fill=lightgreen fadein=north;
paint cross x=0 y=0;
repeat button;
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;;;;
$_winkel1_1_complete = $_page.inputs.winkel1_1_0 .gt. 0;
$_winkel1_1_correct = $_page.inputs.winkel1_1_0 == 90;
;;;;;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Wie groß ist ein rechter Winkel? Schreibe die richtige Zahl in die Lücke:
///
Ein rechter Winkel ist $\circ$ groß.
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
Mein Lernplan
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Du kannst den Lehrplan mit dem Lerncode
oder mit dem Link https://www.matheklaro.de/ jederzeit wieder laden.
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Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!
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aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
D-22763 Hamburg
Tel. +49 40 22854429
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DE221877798
Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
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Datenschutzerklärung
1. Allgemeines zur Datenverarbeitung
1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten
Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist.
Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin.
Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.
1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten
Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage.
Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage.
Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.
1.3 Datenlöschung und Speicherdauer
Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt.
Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde.
Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.
2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles
2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.
Folgende Daten werden hierbei erhoben:
IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde
Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
2.2 Zweck der Datenverarbeitung
Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen.
Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.
Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen.
Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme.
In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.
2.3 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist.
Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall.
Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.
2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich.
Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
3. Verwendung von Cookies
Unsere Webseite verwendet keine Cookies.
4. Kontaktformular
4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
Betreff (optional)
E-Mail-Adresse des Absenders/der Absenderin (optional)
Text der Nachricht
Im Zeitpunkt der Absendung der Nachricht werden zudem folgende Daten gespeichert:
Datum und Uhrzeit des Absendens
Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.
Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.
4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung
Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.
4.3 Zweck der Datenverarbeitung
Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.
4.4 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist.
Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.
4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen.
Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden.
Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.
5. Feedbackformulare
5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert.
Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.
5.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
6. Formular zum Mailen von Lerncodes
6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
E-Mail-Adresse
Lerncode
6.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.